2021学年22.3 实际问题与二次函数练习

这是一份2021学年22.3 实际问题与二次函数练习，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

22.3 实际问题与二次函数


基础训练
一、选择题
1．用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为米，设它的面积为平方米，则与的函数关系为　　
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
2．如图，李大爷用24米长的篱笆围成一个矩形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米，那么菜园的面积（平方米）与的关系式为　　

A． B． C． D．
3．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利（元与降价金额（元之间满足函数关系式，则获利最多为　　
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：满足函数表达式，则最佳加工时间为　　
A． B． C． D．
5．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为　　
A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
6．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是　　

A． B． C． D．
二、填空题
7．假设飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）满足函数关系式，则经过 　　秒后，飞机停止滑行．
8．发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 　　秒时，炮弹位置达到最高．
9．退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为米，花圃面积为平方米，则与之间的函数关系式为 　　．

10．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，水面离桥拱顶的高度为
　　．

三、解答题
11．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

12．如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
（1）求与的函数关系式及值的取值范围；
（2）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？

13．某书店销售一本畅销的小说，每本进价为20元，根据以往经验，当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．
（1）请求出书店销售该小说每天的销售量（本与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说售价为多少元？最大利润是多少？
提升拓展
一、选择题
1．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米关于水珠和喷头的水平距离（米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是
　　
A．1米 B．2米 C．5米 D．6米
2．如图，从某建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状
（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点离墙，离地面，
则水流落地点离墙的距离是　　

A． B． C． D．
3．一身高的篮球运动员在距篮板与的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为　　

A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
4．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是　　
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
5．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，则当水面宽为时，水面上升了　　

A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，要使菜园的面积最大，则平行于墙面的边长为 　　．

7．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽为3米，拱桥最高点离水面的距离也为3米，则当水位上升1米后，水面的宽度为 　　米．

8．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系，则小球飞出 　　时，达到最大高度．

三、解答题
9．阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量与销售单价（元之间满足一次函数的关系．若不计其他成本（利润售价进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是 　　元．
10．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价（元件）与每天销售量（件之间满足如图所示的关系．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

11．某商店经营一种小商品，进价为40元，据市场调查，销售价是60元时，平均每天销售量是300件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．
（1）假定每件商品降价元，商店每天销售这种小商品的利润是元，请写出与间的函数关系式；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
12．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为．
（1）写出与之间的函数表达式，并写出的取值范围．
（2）当，分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？

13．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离．身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

真题在线
一、选择题
1．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，，垂足为．已知，，则该水流距水平面的最大高度的长度为　　

A． B． C． D．
2．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率” 与加工煎炸时间（单位：分钟）近似满足的函数关系为：，，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为　　

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
3．（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为　　
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量（个与销售价格（元个）的关系如图所示，当时，其图象是线段，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 　　元（利润总销售额总成本）．

5．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　　米，水面宽8米．

6．（2022•新疆）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 　　．

7．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间　　．

8．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 　　．

9．（2022•南充）如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高 　　时，水柱落点距点．

10．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米与物体运动的时间（秒之间满足函数关系，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是 　　；当时，的取值范围是 　　．

11．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　　元时，才能使每天所获销售利润最大．
12．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系为，则足球距地面的最大高度是 　　．
13．（2020•贺州）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度（米与水平距离（米之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为 　　米．
14．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　　元．

三、解答题
15．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求关于的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
16．（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量（个与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

17．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价（元千克）与购进数量（箱之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
18．（2021•盘锦）某工厂生产并销售，两种型号车床共14台，生产并销售1台型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台型车床，则每台型车床可以获利17万元，如果超出4台型车床，则每超出1台，每台型车床获利将均减少1万元．设生产并销售型车床台．
（1）当时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：

型
型
车床数量台
　　

每台车床获利万元
10
　　
②若生产并销售型车床比生产并销售型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售型车床多少台？
（2）当时，设生产并销售，两种型号车床获得的总利润为万元，如何分配生产并销售，两种车床的数量，使获得的总利润最大？并求出最大利润．
19．（2020•日照）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地，为美化环境，用总长为的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：；
（2）在（1）的条件下，设的长度为，矩形区域的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

参考答案

基础训练
1．【答案】C
【解析】解：根据题意，故选：．
2．【答案】D
【解析】解：根据题意可得，，
则．故选：．
3．【答案】D
【解析】解：对于抛物线，
，时，有最大值，最大值为1250，故选：．
4．【答案】B
【解析】解：根据题意：，
当时，取得最大值，
则最佳加工时间为．故选：．
5．【答案】B
【解析】解：设定价为元，每天的销售利润为．
根据题意得：，
，
，抛物线开口向下，
当时，．故选：．
6．【答案】D
【解析】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
令，则，整理得：，
解得：，（舍去），
该同学此次投掷实心球的成绩为，故选：．
7．【答案】30
【解析】解：由题意可知：滑行距离达到最大值时，飞机停止滑行，
，
当时，可取得最大值，即经过后，飞机停止滑行．故答案为：30．
8．【答案】11
【解析】解：此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是直线，
炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．故答案为：11．
9．【答案】
【解析】解：若和墙相邻的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，
依题意得：．
又，，
与之间的函数关系式为．
故答案为：．
10．【答案】4
【解析】解：水面的宽度为16米
的横坐标为8，
把代入，得，
，．
水面离桥拱顶的高度为．
故答案为：4．
11．【解析】解：（1）由图象可知，
抛物线的顶点坐标为，过点，
设抛物线的解析式为：，
则，解得，，
即这条抛物线的解析式为：；
（2）当时，，
货船能顺利通过此桥洞．
12．【解析】解：（1）根据题意，得：
，
，．
答：与的函数关系式为，值的取值范围是；
（2）
对称轴，开口向下，
当时，随的增大而减小，
，
当时，最大，最大值为．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
13．【解析】解：（1）根据题意得，；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，
由已知得：，
，时，取得最大值，最大值为1960，
答：每本该小说售价为36元，最大利润是1960元．
提升拓展
1．【答案】B
【解析】解：方法一：
根据题意，得
，

所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
方法二：
因为对称轴，
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
故选：．
2．【答案】B
【解析】解：设抛物线的解析式为，由题意，得
，
．
抛物线的解析式为：．
当时，
，
解得：（舍去），．
．
故选：．
3．【答案】C
【解析】解：当时，
即，
解得：，
，
当时，，
，
答：球出手时，他跳离地面的高度为．
故选：．
4．【答案】C
【解析】解：设每件商品降价元，每天的销售额为元．
依题意有：，
，
当时，最大，最大值为1800，
最大销售额为1800元．
故选：．
5．【答案】D
【解析】解：如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，
由已知抛物线过点，则，
解得：，
抛物线解析式为：，
当，则，
则，
水面上升了：．
故选：．

6．【答案】
【解析】解：设平行于墙面的长为，则垂直于墙面的长，
菜园的面积，
，
当时，最大，
平行于墙面的边长为时，菜园面积最大，
故答案为：15．
7．【答案】
【解析】解：如右图所示，建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为：，
函数图象过点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，（舍去），
水面的宽度是：米．
故答案为：．
8．【答案】2
【解析】解：，
，
当时，的最大值为20，
即时，的值最大，
故答案为：2．
9．【答案】400
【解析】解：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是元，
由题意得，，
，
当时，最大为400元，
故答案为：400．
10．【解析】解：（1）设与之间的函数关系式为，
根据题意得，解得，
与之间的函数关系式为；
（2）
，
，
而，
当时，有最大值1600．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
11．【解析】解：（1）依题意有：；
（2）；
，
当时取最大值，最大值是6125，即降价2.5元时利润最大，
每件小商品销售价是元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6125元．
12．【解析】解：（1），，
，
，
，
，

，；
（2），
，
当时，有最大值为800，
即当，时，面积有最大值为．
13．【解析】解：（1）由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，将代入得：
，
解得，
，
答：抛物线的表达式为；
（2）当时，，
解得或，
她与爸爸的水平距离为或，
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是或．
真题在线
1．【答案】A
【解析】解：根据题意，设抛物线解析式为，
将点、代入，得：
，解得，抛物线解析式为，所以当时，，即，故选：．
2．【答案】C
【解析】解：将图象中的三个点、、代入函数关系中，
，解得，
所以函数关系式为：，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
，
则当分钟时，可以得到最佳时间．
故选：．
3．【答案】C
【解析】解：由题意可得，，
因为，故当时，取得最大值，此时，故选：．
4．【答案】121
【解析】解：当时，设，把，代入可得：
，解得，
每天的销售量（个与销售价格（元个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为元，
，
，当时，有最大值为121，故答案为：121．
5．【答案】
【解析】解：以水面所在的直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，为原点，

由题意可得：米，坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
把点坐标代入抛物线解析式得，，解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，，
水面下降米，故答案为：．
6．【答案】32
【解析】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
矩形围栏的面积为，
，当时，矩形有最大面积为，故答案为：32．
7．【答案】2
【解析】解：，且，
当时，取最大值20，故答案为：2．
8．【答案】4
【解析】解：当时，，
，，解得：，，
故他距篮筐中心的水平距离是．故答案为：4．
9．【答案】8
【解析】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高时，可设，
将代入解析式得出，
整理得①；
喷头高时，可设；
将代入解析式得②，
联立可求出，，
设喷头高为时，水柱落点距点，
此时的解析式为，
将代入可得，解得．故答案为：8．
10．【答案】；
【解析】解：物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
抛物线的顶点的纵坐标为20，且经过点，
，解得：，（不合题意，舍去），
抛物线的解析式为，
，
抛物线的最高点的坐标为．
，当时，的取值范围是：；
当时，，当时，，
，，当时，的取值范围是：．
故答案为：；．
11．【答案】11
【解析】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则

，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为：11．
12．【答案】7.2
【解析】解：，
，，，
足球距地面的最大高度是：，
故答案为：7.2．
13．【答案】10
【解析】解：设铅球出手点为点，当铅球运行至与出手高度相等时为点，根据题意建立平面直角坐标系，如图：

由题意可知，点，点，代入，得：
，
解得．
，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去）．
该学生推铅球的成绩为．
故答案为：10．
14．【答案】1800
【解析】解：设日销售量与上市时间之间的函数关系式为，
，得，
即日销售量与上市时间之间的函数关系式为，
当时，设单件的利润与之间的函数关系式为，
，得，
即当时，单件的利润与之间的函数关系式为，
当时，单件的利润与之间的函数关系式为，
设日销售利润为元，
当时，，
故当时，取得最大值，此时，
当时，，
故当时，取得最大值，此时，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
15．【解析】解：（1）根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：
令，则，
解得：，（舍去），
，
该女生在此项考试中是得满分．
16．【解析】解：（1）设一次函数的关系式为，
由题图可知，函数图象过点和点．
把这两点的坐标代入一次函数，
得，解得，
一次函数的关系式为；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，
由题意得，
，
解得：，，
当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则，
整理得：；
，当时，有最大值，最大值为800；
当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
17．【解析】解：（1）根据题意得：，
答：这种水果批发价（元千克）与购进数量（箱之间的函数关系式为；
（2）设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为（元，
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
18．【解析】解：（1）①由题意得，生产并销售型车床台时，生产并销售型车床台，当时，每台型车床可以获利万元．
故答案应为：，；
②由题意得方程，
解得，（舍去），
答：生产并销售型车床10台；
（2）当时，总利润，
整理得，，
，
当时总利润最大为（万元）；
当时，总利润
，
整理得，
，
当时总利润最大，
又由题意只能取整数，
当或时，
当时，总利润最大为（万元）
又，
当或时，总利润最大为170万元，
而，
，
答：当生产并销售，两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润最大；最大利润为170万元．
19．【解析】解：（1）证明：矩形与矩形面积相等，
，．
四块矩形花圃的面积相等，即，
，
；
（2）篱笆总长为，
，
即，
．
设的长度为，矩形区域的面积为，
则，
，
，
解得，
．