初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步测试题

22.3实际问题与二次函数同步练习人教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为

A.
B.
C.
D.

2. 如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙墙足够长，其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为这个矩形花圃的最大面积是   

A.  B.  C.  D.

3. 一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为

A. 5元 B. 10元 C. 0元 D. 6元

4. 一塑料玩具生产公司将每件成本为70元的某种玩具按每件100元批发出售，平均一天可售出100件后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低1元，其日销量可平均增加10件为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天180件若想获得最大利润，则批发价应降低   

A. 15元 B. 10元 C. 8元 D. 5元

5. 如图，一边靠墙墙有足够长，其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是

A.  B. 12  C. 18  D. 以上都不对

6. 下图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽若水面上升，则水面宽度为   

A. 1m B. 2m C.  D.

7. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16m，跨度是40m，则在线段AB上离中心点M 5m处的地方，桥的高度是   

A.  B.  C.  D.

8. 如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽，顶部距地面的高度为，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货高度为，该车想要通过此门，装货后的高度应小于

A.       B.  C.  D.

9. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点靠点B一侧竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计当竖直摆放圆柱形桶至少    个时，网球可以落入桶内．

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

10. 如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面，水流在离喷出口的水平距离处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为，则应把出水口的高度调节为高出水面

A.  B.  C.  D.

11. 在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线的一部分如图，则他与篮底的水平距离如图是

A.  B. 4m C.  D.

12. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为     

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____s．
14. 如图所示是一座拱桥，当水面宽AB为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是__________．

15. 王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度与水平距离的关系式为，则大力同学投掷标枪的成绩是______m．

16. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润万元每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是________________ 万元

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

17. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为20元件，设销售该商品的日销售利润为y元．
求y与x的函数关系式；
问销售该商品第几天时，日销售利润为2250元？
问在当月有多少天的日销售利润不低于2400元，请直接写出结果．






 

18. 某玩具厂安排30人生产甲、乙两种玩具，已知每人每天生产20件甲种玩具或12件乙种玩具，甲种玩具每件利润18元，当参与生产乙种玩具的工人为10人时，乙种玩具每件利润为40元，在10人的基础上每增加1人，每件乙种玩具的利润下降1元，设每天安排x人生产甲种玩具，且不少于10人生产乙种玩具．
    请根据以上信息完善下表：

请求出销售甲乙两种玩具每天的总利润元关于人的表达式；
请你设计合理的工人分配方案，使得每天销售甲乙两种玩具的利润最大化，并求出这个最大利润．






 

19. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点高度为水柱落地点D离池中心A处建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
    求水柱所在抛物线的函数解析式：
    求水管AB的长，
    
    
    
    
    
    
     
20. 某商店经销一种销售成本为40元的水产品，据市场分析：若按60元销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少针对这种水产品，请解答以下问题：
    写出月销售量与售价元之间的函数解析式
    当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
    商店想在月销售成本不超过8000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）

21. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量件与售价元件为正整数之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

求y与x的函数关系式不求自变量的取值范围；
在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．






 

22. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大的利润？
    
    
    
    
    
    
     
23. 用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度厘米的平方成正比，当时，．
    求W与x的函数关系式．
    如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板不计分割损耗设薄板的厚度为厘米，．
    求Q与x的函数关系式；
    为何值时，Q是的3倍？注：及中的不必写x的取值范围

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
设抛物线的解析式为，将代入求得a值，则时，得的y值即为水管的长．
【解答】
解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
，
代入求得：．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
，
令，则．
则水管长为，
故选：D．  

2.【答案】D
 

【解析】解：设矩形花圃的面积为，垂直于墙的一边的长为xm，则平行于墙的一边的长为，
则，
当时，S有最大值338，
即矩形花圃的最大面积为．
故选D．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用．
设每件降价x元，每天获得的利润为W元，根据总利润每件的利润总销量列出关系式，根据二次函数的性质即可得到答案．
【解答】
解：设每件降价x元，每天获得的利润为W元，
根据题意得：，
，降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．
故选A．  

4.【答案】C
 

【解析】解：设公司一天利润为y元，批发价降低x元，
由题意得，
，

，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，为3960，
即批发价降低8元时，公司获得最大利润．
故选C．
 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用及二次函数的最值，设与墙垂直的矩形的边长为x m，从而列出面积为，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：设与墙垂直的矩形的边长为x m，
则这个花园的面积是：，
当时，S取得最大值，此时，
故选：C．  

6.【答案】B
 

【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为，
由已知可得，点在此抛物线上，
则，解得，
，
当时，，解得，
所求水面的宽度为．
故选B．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：
如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为
已知抛物线经过，，，
故可得，
可得，，，
故解析式为，
当时，．
故选B．
根据题意假设解析式为，用待定系数法求出解析式．然后把自变量的值代入求解对应函数值即可．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的应用，首先根据已知条件求得抛物线解析式为，设备总宽度为，即G点的横坐标为，代入求得G的纵坐标为，得到答案．
【解答】
解：建立坐标系如图：

设抛物线解析式为，
代入，得
解得，，
抛物线解析式为，
设备总宽度为，
，则G点的横坐标为，
代入解析式求得点G的纵坐标为，
该车想要通过此门，装货后的高度应小于．
故选：B．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是二次函数的应用的有关知识，以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．
【解答】
解：以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，

，，，，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点M和点B，
，解得，
抛物线解析式为：，
当时，；当时，，
，
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意得：，解得．
为整数，
的最小整数值为8，
竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．
故选：B．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式有关知识，如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为，，，列方程组求得函数解析式，即可得到结论．

【解答】
解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为

，，，
设解析式为，

解得：
所以解析式为：，
当时，，
使落水形成的圆半径为，则应把出水口的高度调节为高出水面，
故选B．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题为数学建模题，熟悉二次函数与x轴的交点是解题的关键．
当时，求出对应的横坐标，与相加即可．
【解答】
解：把代入中得：
，舍去，
米，
故选：B．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了由实际问题列二次函数关系式的问题，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．
商品所赚钱每件的利润卖出件数，把相关数值代入即可求解．
【解答】
解：每件的利润为，

．
故选B．  

13.【答案】4
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单，根据关系式，令即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】
解：依题意，令得：
，
得，
解得舍去或，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s．
故答案为4．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．

【解答】 

解：如图所示：

由题意可得出：，
将代入得出，，
解得：，
选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是： 
故答案为．

15.【答案】48
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的实际应用，搞清楚标枪落地时，即，测量运动员成绩，也就是求x的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
标枪落地才能计算成绩，此时，由此列出关于x的一元二次方程，解方程求出符合题意的解即可．
【解答】
解：由题意可知，把代入解析式得：
，
解方程得：，舍去，
即大力同学投掷标枪的成绩是48m．
故答案为48．  

16.【答案】205
 

【解析】

【分析】

此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意由可获得利润万元，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值．

【解答】

解：，

当时，p取最大值41，
5年所获利润的最大值万元．

故答案为205．

17.【答案】解：根据题意，得

．
当时，
，
，
解得，，
答：销售该商品第5天或第25天时，日销售利润为2250元．

，
当时，
，

解得，．
根据二次函数的图象可知：
当时，日销售利润不低于2400元．
答：当月有11天的日销售利润不低于2400元．
 

【解析】根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
根据中所得关系式，把代入即可求解；
把代入中的关系式，根据二次函数的图象，利用直线与抛物线的交点的横坐标即可写出结果．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系：销售利润单件利润销售量．
 

18.【答案】20x     
 

【解析】解：根据题意，得
生产甲种玩具的工人数为x人，每天产量20x件，
则生产乙种玩具的工人数为人，每天产量件，
乙种玩具每件利润为40元，在10人的基础上每增加1人，
每件乙种玩具的利润下降1元，
乙每件利润为元．
故答案为20x、、、．
根据题意，得

．
答：销售甲乙两种玩具每天的总利润元关于人的表达式为：．
由得
．

，当时，y有最大值，最大值为12000
答：分配20人生产甲种玩具，10人生产乙种玩具，
使得每天销售甲乙两种玩具的利润最大化，这个最大利润为12000元．
根据题意即可完善表格，乙种玩具每件利润为40元，在10人的基础上每增加1人，每件乙种玩具的利润下降1元可得乙每件利润为即可；
根据销售问题等量关系：每件利润乘以每天产量可得每天总利润即可列出y与x的表达式；
根据可得二次函数的顶点坐标，由二次函数的性质即可合理分配工人并求出最大利润．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题等量关系．
 

19.【答案】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：，
代入求得：．
将a值代入得到抛物线的解析式为：；
令，则．
故水管AB的长为．
 

【解析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值；
由题意可得，时得到的y值即为水管的长．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
 

20.【答案】解：由题意得：；

当时，w有最大值为6250；
由，解得
令，则，解得，
故：销售单价x为：．
 

【解析】由题意得：；
即可求解；
由，解得，令，则，即可求解．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

21.【答案】解：设y与x的函数关系式为：，
把，和，代入得，
，
解得，，
；
根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，，
设利润为w元，根据题意得，
，
，
当时，w随x的增大而增大，
，
当时，w取最大值为：，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；
根据题意得，，
对称轴为，
，
当时，w随x的增大而增大，
捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
，
解得，，
，
．
 

【解析】用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
 

22.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：



，
，
时，y有最大值，最大值为4500，
，
所以，销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润4500元．
 

【解析】设销售单价为x元，销售利润为y元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
 

23.【答案】解：设．
当时，，
，解得，
与x的函数关系式为；

设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为厘米，
，
即Q与x的函数关系式为；

是的3倍，
，
整理得，，
解得，，不合题意舍去，
故x为2时，Q是的3倍．
 

【解析】由木板承重指数W与木板厚度厘米的平方成正比，可设将时，代入，求出，即可得出W与x的函数关系式；
设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为厘米，将中所求的解析式代入，化简即可得到Q与x的函数关系式；
根据Q是的3倍，列出方程，求解即可．
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，求出W与x的函数关系式是解题的关键．