人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

空间中直线与平面有几种位置关系？

【答案】在面内、平行、相交

二、探索新知

1.观察下面实例，你能否给出直线与平面垂直的定义？

1.直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直。记作。

直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。唯一公共点P叫做垂足。

2.直线与平面垂直的画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。

思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？

【答案】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。

3.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。

探究： 如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：

过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.     

问题：（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面垂直？       

【答案】（1）不垂直    （2）三角形BC边上的高AD

4.线面垂直的判定定理

 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意：面内两条相交直线。

一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解

例1　下列命题中，正确的序号是________.

①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

答案　③④

解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.

反思感悟　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.

跟踪训练1　(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)

A.平面OAB   B.平面OAC

C.平面OBC   D.平面ABC

(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)

答案　(1)C　(2)①③④

解析　(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.

二、直线与平面垂直的判定

例2　如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

证明　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，

所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，

所以△ADS≌△BDS，

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，

所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.

又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.

反思感悟　利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤

(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直.

(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.

(3)根据判定定理得出结论.

跟踪训练2　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.

(1)求证：AN⊥平面PBM；

(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.

证明　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，

∴PA⊥BM.

又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，

∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，

∴AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，

PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，

∴PB⊥平面ANQ.

又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.

三、直线与平面垂直的性质

例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.

证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，

又AB∥CD，∴AE⊥CD.

∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.

又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，

∴AE⊥平面PCD.

∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.

又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，

∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.

反思感悟　证明线线平行的常用方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.

(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

跟踪训练3　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.

证明　∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.

∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.

又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.

∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

∴a⊥平面PAB.

∴a∥l.

通过复习前面所学直线与平面的位置关系，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过观察实例，让学生思考直线与平面垂直的定义，提高学生的概括问题、分析问题的能力。

通过思考，进一步理解直线与平面垂直的定义，提高学生分析问题、概括能力。

通过探究，让学生更形象的得到直线与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题的能力。

通过例题进一步理解直线与平面垂直的判定定理，提高学生解决问题的能力。

通过例题讲解，理解直线与平面所成角的求法，提高学生解决问题的能力。

三、达标检测

1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行　　　B．相交　　　C．异面　　　D．垂直

【答案】A　

【解析】若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．

2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　)

A．垂直   B．相交但不垂直

C．平行   D．不确定

【答案】A　

【解析】因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.

3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°   B．45°

C．30°   D．120°

【答案】A　

【解析】∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°. 故选A.

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.

[证明]　如图，连接AC，

∴AC⊥BD，

又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，

AC，A1A⊂平面A1AC，

∴BD⊥平面A1AC，

∵A1C⊂平面A1AC，

∴BD⊥A1C.

同理可证BC1⊥A1C.

又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，

∴A1C⊥平面BC1D.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

课堂小结：

1.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角，将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角θ满足0°<θ≤90°.

2.空间两直线的垂直，关键是计算两直线所成角是否为直角.

3.异面直线是空间中直线与直线之间的位置关系中最重要的位置关系，围绕异面直线设计的命题，主要有以下类型：一是概念的辨析，二是判定与证明，三是角的计算.　　　　　　　　　　　　　　五、作业

152页   2,3题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。