高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第1课时导学案及答案

《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》

第1课时   导学案      参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【探究】（cosα，sinα）， （cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))

根据圆的旋转对称性可知，

与重合，从而， 所以AP＝

根据两点间的距离公式，得

+=+，
化简得:
=+
当kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．
 

（二）两角差的余弦公式

两角差的余弦公式：

对于任意角α，β有  =+ （Ｃ（α－β））
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，

称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).

【辨一辨】【答案】(1)√　(2)×　(3)×

【做一做1】 【解析】cos 75°＝cos(120°－45°)＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°＝－×＋×＝.

【做一做2】【解析】∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.

∵β为第三象限角，且sin β＝－，∴cos β＝－＝－，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.

【答案】A

（三）典型例题

例1.【解析】　因为α，β∈，所以0<α＋β<π，

由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，又sin α＝，所以cos α＝，

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.

【巩固练习1】 【解析】因为α，β∈，sin(α＋β)＝－，

sin＝，α＋β∈，β－∈，

所以cos(α＋β)＝，cos＝－，

cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.

例2.【解析】(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝.

(2)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝.

(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝.

(4)cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.

【巩固练习2】【解析】 (1)∵cos 263°＝cos(180°＋83°)＝－cos 83°，

cos 203°＝cos(180°＋23°)＝－cos 23°，

∴原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝.

(2)原式＝2＝2＝2cos＝2cos＝2×＝.

【答案】(1)B　(2)C

例3.【解析】由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝ ＝.

由0<β<α<，得0<α－β<.

又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝ ＝.

由β＝α－(α－β)，得

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.

∵0<β<，∴β＝.

【巩固练习3】【解析】因为0＜α＜，0＜β＜，α＜β.所以－＜α－β＜0.

又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝－＝－.

又因为0＜2α＜π，cos 2α＝，所以sin 2α＝＝，

所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)

＝×＋×＝－.

又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.

（四）操作演练  素养提升

【答案】1.B    2.A    3.B     4.