人教版九年级上册23.1 图形的旋转精品习题

23.1图形的旋转人教版初中数学九年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是．(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

6. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图的正方形网格中，其中一个三角形绕某点旋转一定的角度，得到三角形，则其旋转中心是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

8. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图所示叠放，先将含角的纸板固定不动，再将含角的纸板绕顶点顺时针旋转，使，如图所示，则旋转角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转后，点的对应点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是___________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______ ．

13. 在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点旋转到，则点的坐标是______________________．
14. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转至
    的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，如图．
    在图中，______；用含的式子表示
    在图中猜想与的数量关系，并证明你的结论．
     

16. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上．
    用直尺和圆规作不写作法，保留作图痕迹；
    若，则______，______

17. 在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．
    当点恰好在上时，如图，求的大小；
    若时，点是边中点，如图，求证：四边形是平行四边形．
     

18. 如图，点，分别在正方形的边，上，且把绕点顺时针旋转得到．
    求证：≌．
    若，，求正方形的边长．

19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    将先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
    画出绕点顺时针旋转后得到，并写出点的坐标；
    在的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长结果保留．

20. 如图，已知中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上直角三角板的短直角边为，长直角边为，点在上，点在上．
    求重叠部分的面积；
    如图，将直角三角板绕点按顺时针方向旋转度，交于点，交于点，请说明；在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由；
    如图，将直角三角板绕点按顺时针方向旋转度，交于点，交于点，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？请直接写出结论不需说明理由
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于，轴于．

，
，
，
≌，
，，
．
故选：．
如图，作轴于，轴于利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
设，则，，
，
，
与的面积之比为．
故选：．
由旋转的性质得出，，则是等边三角形，，得出，设，则，，求出，可求出答案．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
．
故选：．
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形变化旋转，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，作轴于由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，进而得出即可得出答案．
【解答】
解：如图，作轴于．

由题意得：，，
，，
，
，，
，
，
故选B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查旋转的性质，掌握旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上是关键．
根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【解答】
解：连接，，分别作出，的垂直平分线，如图所示：

，的垂直平分线的交点为，所以旋转中心是点．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
【解答】
解：如图所示，连接，

由旋转可得，≌，
，，
又，
为的中点，
垂直平分，
，
设，则，，
，
，
中，，即，
解得，
的长为，
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：如图：作出三角形和三角形两组对应点所连线段的垂直平分线，
它们的交点即为旋转中心．

故选：．
根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由平行线的性质可得，由外角的性质可求的度数．
【解答】
解：如图，设与交于点，

，
，
，

故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，

由旋转得：，，
四边形是正方形，且是的中点，
，
，即，
故选：．
根据旋转可得：，，可得的坐标．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据旋转的性质得到，，，故A错误，C错误；得到，根据三角形的内角和得到，，求得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，故A错误，C错误；
，
，，
，故D正确；
不一定等于，
不一定等于，故B错误．
故选D．  

11.【答案】或 

【解析】解：当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为；
当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为．
综上所述：这个旋转中心的坐标为或．
故答案为：或．
分点的对应点为或两种情况考虑：当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心；当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心．此题得解．
本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：作轴于点，

由旋转可得，轴，
四边形为矩形，
，，
点坐标为．
故答案为：．
作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解．
本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．
 

13.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查的是旋转变换，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，分类讨论有关知识，逆时针旋转时，过点作轴于，过点作轴于，根据旋转的性质可得，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后写出点的坐标即可，顺时针旋转，过点作轴于，过点作轴于，根据旋转的性质可得，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后写出点的坐标即可．
【解答】
解：逆时针旋转时，如图，过点作轴于，过点作轴于，

绕坐标原点逆时针旋转至，
，，
，，
，
在和中，

≌，
，，
点的坐标为，
顺时针旋转：
如图，过点作轴于，过点作轴于，

绕坐标原点顺时针旋转至，
，，
，，
，
在和中，

≌，
，，
点的坐标为．
故答案为或．  

14.【答案】 

【解析】解：在中，，将该三角形绕点按顺时针方向旋转到的位置，点恰好落在边的中点处，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转至的位置，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
由旋转的性质得出是等边三角形，求出的长，则可得出答案．
此题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，得出是等边三角形是解题关键．
 

15.【答案】
理由如下：
如图，四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中
，
≌，
． 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．
如图，利用旋转的性质得到，再根据正方形的性质得到，从而得到；
如图，利用正方形的性质得，，再利用为等腰直角三角形得到，利用的结论得到，则可证明≌，从而得到．
【解答】
解：如图，
绕点逆时针旋转角，
，
四边形为正方形，
，
；
故答案为；
见答案．  

16.【答案】   

【解析】解：如图，即为所求；


，
，，
故答案为：，；
根据要求作出图形即可；
利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】解：如图，
绕点顺时针旋转得到，点恰好在上，
，，，
，
，
；
证明：连接，如图，

点是边中点，
，
，，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
，和为等边三角形，
，
点为的边的中点，
，
则，，，
≌，
，
，
而，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
如图，利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而利用互余计算出的度数；
如图，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明≌得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
 

18.【答案】证明：≌，
，，
，，
，
，
，
≌．

解：设，则，，
≌，
，
，
，
，
，
，
解得，或舍弃，
正方形的边长为． 

【解析】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
想办法证明，根据证明三角形全等即可．
设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
 

19.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标；
如图，即为所求，点的坐标；
，
点旋转到点的过程中所经过的路径长．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用勾股定理求出，再利用弧长公式求解．
本题考查作图平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：连结．
，，
，
则的面积是；
作，分别于点，，
又，，
，
≌，
，
则四边形是正方形．


又
≌，
，
直角三角板绕点按顺时针方向旋转度，
此条件下重叠部分的面积等于正方形的面积是．
的结论仍成立，重叠部分的面积会变． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形和旋转的基本性质的知识点；正确理解题目中叙述的旋转过程，正确作出题目中的两条辅助线是解决本题的关键．
重叠部分是一个等腰直角三角形，求出其直角边，即可求解；
作，分别于点，，证明≌即可求得；
根据中的结论，可以直接写出．