数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算免费习题

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第1.1练 空间向量及其运算 培优第一阶——基础过关练一、单选题1．四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，依次分析选项：对于：若与垂直，又与垂直，则平面与垂直，则与垂直，与与不一定垂直矛盾，所以与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0；对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；对于：根据题意，有平面，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0.故选：．2．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意得，.故选：D3．对于空间的任意三个向量､､，它们一定是（       ）A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量【答案】A【详解】若､不共线，则由共面向量定理知，､､共面；若､共线，则､､共线，也共面.故选：A.4．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（       ） A． B． C． D．【答案】A【详解】解：在三棱锥中，E为OA的中点，，所以故选：A5．已知向量与共线，则实数（       ）A．0 B．1 C．或2 D．或1【答案】D【详解】因为共线，所以，解得或1.故选：D6．四面体中，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为，，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以；故选：C7．向量，，若，则的值为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】因为，所以，即，所以，所以，故选：A8．如图，在平行六面体中，，，，则（       ）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【详解】故选：B二、多选题9．给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．【答案】AC【详解】由向量共面定理可知A正确；当，为零向量可知B错误；由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确；当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.故选：AC10．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（       ）A．B．C．D．异面直线与所成角的余弦值为【答案】BD【详解】设，，，则，，，，，，，，所以．故选：BD.三、解答题11．如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出： (1)的相等向量，的负向量；(2)用另外两个向量的和或差表示；(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.【答案】(1)，，；，，，(2)，，，（答案不唯一）(3)，（答案不唯一）【解析】(1)解：的相等向量有：，，；的负向量即相反向量有：，，，.(2)由向量加减运算法则得：，，，（答案不唯一）(3)由向量加法运算法则得：，（答案不唯一）12．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判断与是否垂直．【答案】(1)，(2)(3)垂直【解析】(1)解：根据空间向量的运算法则，可得，.(2)解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得，则.(3)解：根据空间向量的运算法则，可得；则，所以与垂直．  培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．向量与非零向量平行的充要条件是（       ）A． B．C．存在实数k，使 D．存在实数k，使【答案】D【详解】如果，则，不成立，故A错误，如果，则，故平行，但不成立，因为无意义，故B错误.对于C，不成立，因为是向量，而是实数，故C错误.对于D，由向量共线定理可得：向量与非零向量平行等价于存在实数k，使，故D成立，故选：D.2．如图，已知正方体，设，，，则（       ）.A． B． C． D．【答案】D【详解】设正方体的棱长为1，因为所以，又，，又，故选：D.3．如图，已知平面ABC，垂足为点A，，，则（       ）.A． B．6 C．12 D．144【答案】C【详解】因为，则又，则故选：C.4．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，故.故选：D.5．已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为(       )A．4 B．12 C．8 D．6【答案】C【详解】设正方体内切球的球心为，则，，∴＝，又点在正方体表面上运动，∴当为正方体顶点时，最大，且最大值为正方体体对角线的一半，，∴的最大值为.故选：C.6．已知正方体的棱长为a，对角线与相交于点O，则有（       ）．A． B．C． D．【答案】A【详解】A：且，则，正确；B：，错误；C：，错误；D：且，则，错误.故选：A.二、填空题7．已知空间四边形中，，则______．【答案】0【详解】在空间四边形中, ,则 ,故答案为：08．若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为___________．【答案】【详解】设，，，∴，求的最值，、、、在同一平面时，有最值，如图建系，不妨设，，，中点，可知，，，，由可知，消参可得，即点轨迹为，点的轨迹是为圆心，半径为的圆.所以，即．故答案为：三、解答题9．已知空间三点，，.(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；(2)设，若A，B，C，D四点共面，求的值【答案】(1)(2)【解析】(1)由已知，得：，，∴，∴∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(2)由，得：∵A，B，C，D四点共面∴存在实数，，使得∴，即得：解得：，，∴10．如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的大小；(3)判断与是否垂直．【答案】(1)(2)(3)垂直【解析】(1)正方体中， ,故;(2)由题意知, , ,，故，故 ，故与的夹角的大小为 ；(3)由题意， , ,故与垂直.