高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法优秀同步练习题

1.1.1集合及其表示方法人教   B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 非空集合具有下列性质：若、，则；若、，则，下列判断一定成立的是(    )

；
；
若、，则；
若、，则．

A.  B.  C.  D.

2. 设集合，若，则(    )

A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或

3. 规定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，有：，且，，，用列举法表示集合，(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某公司共有人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有人，参加项公益活动的有人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多人，则只参加项不参加项的有 (    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

5. 若集合中只有一个元素，则(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

6. 下列叙述正确的是(    )

A. 方程的根构成的集合为
B.
C. 集合表示的集合是
D. 集合与集合是不同的集合

7. 下面给出四个论断：是空集；若，则；集合有两个元素；集合是有限集．其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设全集，，，，下列结论正确的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知集合，若，则满足条件的实数可能为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知集合，，下列四个表述中，正确的是 (    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

11. 已知集合，集合，下列关系正确的是．(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下面四个说法中错误的是(    )

A. 以内的质数组成的集合是
B. 由，，组成的集合可表示为或
C. 方程的所有解组成的集合是
D. 与表示同一个集合

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设集合集合满足：有两个元素；若，则且请写出两个满足条件的集合          ．
14. 已知集合，且，求实数的值          ．
15. 由三个数，，组成的集合与由，，组成的集合是同一个集合，则的值为          ．
16. 已知，求实数的值          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 用描述法表示下列集合：

函数图象上的所有点组成的集合；

不等式的解组成的集合；

如图中阴影部分的点含边界的集合；

和的所有正的公倍数构成的集合．

18. 已知集合．
    若是空集，求的取值范围；
    若中只有一个元素，求的值，并求集合；
    若中至多有一个元素，求的取值范围
19. 已知集合中含有两个元素和．

若是集合中的元素，试求实数的值；

能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．

20. 设，，，若，试用列举法表示集合．
21. 设数集由实数构成，且满足：若且，则．
    若，试证明中还有另外两个元素；
    集合是否为双元素集合，并说明理由；
    若中元素个数不超过个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
22. 集合．

试判断元素和与集合的关系；

用列举法表示集合．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于中档题．
假设，可推出，由此可判断的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断的正误；推导出，结合可判断的正误；若、，举出反例，可判断的正误综合可得出结论．

【解答】

解：由可知．

对于，若，对任意的，，则，

所以，，这与矛盾，正确；

对于，若且，则，
，，

依此类推可得知，，，
，，，正确；

对于，若、，则且，
由可知，，则，

所以，，正确；

对于，由得，，
取，则，所以错误．

故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题．
分别由，，求出的值，再将值代入验证即可．

【解答】

解：若，则，
，
；
若，则或，
时，，
；
时，舍，不符合互异性，
则或．
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的表示法，解题时要认真审题，注意新定义的灵活运用，属于中档题．
由新定义的运算法则可得，且，把，和，代入求解即可求出答案．

【解答】

解：，且，，，



，且，
当，时，；
当，时，．
．
故选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

利用图，将满足条件的集合人数确定即可．
本题主要考查集合元素个数的确定，利用图，建立方程关系是解决此类问题的基本方法．

【解答】

解：如图所示，

设，两项公益活动都参加的有人，则仅参加项的有人，仅参加项的有人，，两项公益活动都不参加的有人，根据题意得，解得，
所以只参加项不参加项的有人，
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系，属中档题．
集合只有一个元素，说明方程只有一个根，然后通过讨论解即可．

【解答】

解：因为集合中只有一个元素，
所以方程只有一个根，
若，
则方程等价为，
解得，满足条件；
若，
则判别式，
即，
解得，
综上或．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的含义及集合内元素的特征，考查了集合的相等，属于中档题．
由集合中的元素是互异的、无序的判断，；选项B中两集合都是空集，故相等；由集合中的元素是有序数对可判断．

【解答】

解：选项A：集合中的元素互异，故A错误；
选项B：，故B正确；
选项C：集合，，故C错误，
选项D：元素相同即集合相等，故D错误．
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的含义，元素与集合的关系，集合中元素的性质：无序性、确定性、互异性，属于中档题．
对四个选项分别进行判断，即可得出结论．

【解答】

解：中有元素，不是空集，不正确；
若，则，且，不正确；
集合只有个元素，不正确；
集合是无限集，不正确．
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算及元素与集合的关系，同时考查图的应用．
依据题意，画出图即可求解．

【解答】

解：根据条件画出图，如图，

由图知，．

故选A．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合的关系及元素的互异性，要注意检验，属于中档题．
根据集合元素的互异性，必有或，解出后根据元素的互异性进行验证即可．

【解答】

解：由题意得，或，
若，即，
或，
检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；
当时，，与元素互异性矛盾，舍去．
若，即，
或，
经验证或为满足条件的实数．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合之间的关系以及元素与集合之间的关系．
根据集合与集合的关系、元素与集合的关系逐项验证即可．

【解答】

解：因为，所以或，故A错误
因为，所以且，则，故B正确
因为，所以，故C正确
因为所以A.则故D正确．
故选BCD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合及集合与集合的关系．
由已知为数集，为点集，利用元素与集合及集合与集合的关系，逐一分析求解即可．

【解答】

解：由已知，
表示抛物线上的点的坐标构成的集合，
当时，，
所以点为抛物线上的点，
所以，即A正确，
，所以不正确，
因为，所以，所以C正确，
当时，，
所以点不是抛物线上的点，
所以，即D正确．
故选ACD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的概念，集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性，属于基础题．
，质数指能被和本身整除的正整数，举出以内的所有质数；，由集合中元素的无序性，可判断；，由集合中元素的互异性，即可判断；，由元素和集合的关系，可知属于集合．

【解答】

解：以内的质数集合是，故A对；
B.由，，组成的集合可表示为或，它们都相等，故B对；
C.方程的解集应为，故C错；
D.表示元素，表示一个集合，只有一个元素，故D错．
故选CD．

13.【答案】，， 

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合关系的判定，是中档题．

由，再结合已知条件可得答案．

【解答】

解：由，可得可取，，或

因为集合有两个元素，
集合为，，．

故答案为：，，．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合中元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
利用，推出或，求出的值，然后验证集合是否成立，即可得到的值．

【解答】

解：因 ，且
所以或
即或或
当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；
当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；
当时，满足题意
．
故答案是：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

根据集合相等，可建立关系式，优先考虑特殊元素，求出，进而可求出答案．

本题考查相等集合的性质，注意集合的互异性．

【解答】

由，，组成一个集合，可知，，

因为，所以，即，

则，所以，解得．

所以．

故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系，集合中元素的性质．
或或，逐一进行计算，再去验证是否符合集合中元素性质即可．

【解答】

解：或或，
若，则，此时集合中有两个零，不符合元素的互异性，舍去．
若，则，当时，不符合元素的互异性，舍去．
当时，集合为，符合题意．
当时，则或，由上述可知两者均不符合题意，都舍去，
所以，
故答案为．

17.【答案】解：函数的图象上的所有点组成的集合可表示为．

不等式的解组成的集合可表示为，即．

图中阴影部分的点含边界的集合可表示为：，

和的最小公倍数是，因此和的正的最小公倍数构成的集合是
．

【解析】本题主要考查了利用描述法表示集合，属于中档题．
根据题目所描述的直接写出即可，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题的关键．
 

18.【答案】解：是空集，
且，
，解得，
的取值范围为：；
当时，集合，
当时，，
，解得，
此时集合，
综上所求，的值为或，集合，集合；
由，可知，当中至多有一个元素时，或，
的取值范围为：． 

【解析】本题主要考查了集合的元素个数，含参的一元二次方程根的判定，属于中档题．
利用是空集，则即可求出的取值范围；
对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
结合，的结果，即可求解．
 

19.【答案】解：因为是集合中的元素，所以或，
若，则，此时集合含有两个元素，，符合要求；
若，则，此时集合中含有两个元素，，符合要求，
综上所述，满足题意的实数的值为或．
若为集合中的元素，则，或．
当时，解得，此时，
显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，
此时显然不满足集合中元素的互异性，
综上，不能为集合中的元素． 

【解析】本题主要考查元素与集合的关系掌握概念是解题的关键．
因为是集合中的元素，所以或，求出的值，结合集合中元素的互异性检验即可；
若为集合中的元素，则，或，求出的值，结合集合中元素的互异性检验即可．
 

20.【答案】解：将代入集合中的方程并整理得，
，，是方程的两个实数根，

解得，，，
将，代入集合中的方程并整理可得．
．
 

【解析】本题考查一元二次方程的解法、集合的列举法，考查了计算能力，属于中档题．
利用根与系数的关系可得，，再利用一元二次方程的解法即可得出集合．
 

21.【答案】解：数集由实数构成，且满足：若且，则．
，，，循环，
中还有另外两个元素，；
，，，，
，，，
故集合中至少有个元素，
集合不是双元素集合．
由知，若，则，且，
中元素个数为的倍数，若中元素不超过个，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
由知不可能为元集，则中元素只有个，
不妨设，解得或舍去，则，，，
所以，
解得或或，
所以 

【解析】本题考查集合的求法，考查集合中元素的个数的求法及应用，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由，得到，从而，由此能证明中还有另外两个元素，．
由，，，，，，得到集合中至少有个元素，从而集合不是双元素集合．
由题意得不可能为元集，则中元素只有个，不妨设，解得或舍去，则，，，所以，解得，即可求解．
 

22.【答案】解：当时，，   
当时，，  
，  
 ，   
只可能取．
，
只能取   
故． 

【解析】本题考查元素与集合的关系的判断，集合的表示方法，属于中档题．

分别把元素代入集合中，能求出结果． 

由，能利用列举法求出集合