2020-2021学年6.8 余角和补角优秀练习题

6.8余角和补角浙教版初中数学七年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，，平分，则下列结论不正确的是(    )

A. 与互余 B. 与互余
C. 与互补 D. 图中没有互补的两个角

2. 七巧板起源于我国先泰时期，古算书周醉算经中有关于正方形的分割术．经历代演变面成七巧板，如图所示．世纪传到国外，被称为“唐图”意为“来自中国的拼图”，图是由边长为的正方形分别制作的七巧板拼摆面成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”即阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 七巧板是中国古代劳动人民的发明．小张为祝贺辛丑年的到来，用一副七巧板，拼成了“牛气冲天”的图案如图，图中与的和为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”在一次数学活动课上，小明用边长为的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它北偏东的方向上，海岛在它南偏东方向上．则下列结论：
   ；
   图中的补角有两个，分别是和；
   图中有对互余的角；
   货轮在海岛的西偏北的方向上．
   其中正确结论的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，是平角，平分，平分，那么的余角有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

9. 如图所示，，，则图中互为余角的共有(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

10. 已知与互补，且，则的余角为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，是直线上一点，平分，则图中互余的角、互补的角各有对．(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

12. 已知与互为余角，并且的一半比小，则、的度数分别为(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果，那么______．

14. 把正方形按图画线，然后沿实线分割从而得到一副七巧板图所示，进行编号，号分别对应着七巧板的七块，如果编号对应的面积等于，则由这七块拼成的正方形的面积等于______ ．

15. 已知与互余，且，则______。
16. 如果，的余角是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．

三角板绕点逆时针旋转一定的角度，当边在的内部，在的下方时，

若，求的度数；

探究与之间的数量关系，并简单说明理由；

若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为________直接写出结果．

18. 一个角的补角等于这个角的余角的倍，求这个角．
19. 如图，已知锐角和直角，在内部求作，使与互余．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法

20. 如图，和分别是的余角和补角，且是的平分线，求的度数．

21. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，，是三角板的两条直角边，平分．
    若，则______；若，则______用含的代数式表示；
    当三角板绕逆时针旋转到图的位置时，其它条件不变，试猜测与之间有怎样的数量关系？并说明理由．
     

22. 如图，已知、、三点共线，，．
    求的度数；
    若平分，求的度数．

23. 如图，已知，与互余，平分．
     

在图中，若，则________；________；

在图中，设，，请探索与之间的数量关系；

在已知条件不变的前提下，当绕点逆时针转动到如图的位置时，中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出与的数量关系并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：与互余，说法正确，不符合题意；
与互余，说法正确，不符合题意；
与互补，说法正确，不符合题意；
D、图中没有互补的两个角，说法错误，符合题意；
故选：．
根据，，平分，可得，再根据，可得，然后根据余角定义和补角定义进行分析即可．
此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
 

2.【答案】 

【解析】解：图中阴影部分实际上是由图中的等腰直角三角形和平行四边形组成的，

图中的、、三部分的面积，
图中的的面积，
阴影部分的面积．
故选：．
观察图形可得图中阴影部分实际上是由图中的等腰直角三角形和平行四边形组成的，进而利用正方形的面积即可解决问题．
本题考查了七巧板中图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了余角和补角，角的大小比较，熟记概念与性质是解题的关键．
根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等，对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：图，，互余，不一定有；
图，根据同角的余角相等，；
图，，互补，显然．
图，根据等角的补角相等；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意可得：，，，
，
故选：．
结合正方形的性质分析，，的度数，从而计算求解．
本题考查正方形的性质，理解正方形的性质正方形的对角线平分每一组对角是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是余角及补角的定义，能根据题意列出关于的方程是解答此题的关键．
设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，再根据题意列出方程，求出的值即可．
【解答】
解：设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，
依题意得：，
解得．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：最小的等腰直角三角形的面积，
平行四边形面积为，中等的等腰直角三角形的面积为，
最大的等腰直角三角形的面积为，则
A、阴影部分的面积为，不符合题意；
B、阴影部分的面积为，不符合题意；
C、阴影部分的面积为，不符合题意；
D、阴影部分的面积为，符合题意．
故选：．
先求出最小的等腰直角三角形的面积，可得平行四边形面积为，中等的等腰直角三角形的面积为，最大的等腰直角三角形的面积为，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．
本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用分割法求阴影部分的面积．
 

7.【答案】 

【解析】解：由方位角意义可知：，因此正确；
根据题意可求出；，，，因此正确；
图中互余的角有：和，和，和，和，因此正确；
根据方位角，海岛在轮船南偏东方向，即，也就是，反之货轮在海岛的西偏北的方向上．因此正确；
综上所述，正确的个数有个，
故选：．
根据方位角的意义、互余意义结合图形逐个进行判断，最后得出答案．
考查方位角的概念，互余的意义以及角度的有关计算等知识，理解方位角的意义和角度的计算是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平角、角平分线的定义、余角的定义，是一个基本的类型．
利用角平分线的定义以及平角的定义，可知与互余，与互余．而，故可知的余角有两个．
【解答】

解：平分，平分
，
又是平角
即
．
故选B．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了余角和平角的应用，解此题的关键是能理解互余的定义，注意：如果，那么和互余．
由题目条件得，再根据互余的定义判断即可．

【解答】
解：，
，
，
，
图中互为余角的角有和，和，和，和，共对，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的定义．首先根据与互补可得，再根据，求出，再求出的余角．
【解答】
解：与互补，
，

，
的余角．
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，，，
，，
互余的角有和，和，和，和共对，
互补的角有和，和，和，和，和，和，和共对．
故选：．
根据余角和补角的定义找出互余和互补的角即可得解．
本题考查了余角和补角的定义，从图中确定余角和补角时要注意按照一定的顺序，找补角时，三个直角就可以有三对补角，这也是本题容易出错的地方．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，则的度数是，
根据题意得，
解得，
，
即、的度数分别为、，
故选B．
设，则的度数是，然后根据的一半比小即可列方程求解．
本题考查了余角的定义，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角或补角列出方程求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
从图可以看出，的度数正好是两直角相加减去的度数，从而问题可解．
本题主要考查了余角关系、角的计算；解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：是正方形，它的面积等于，它的面积是大正方形面积的，
七块拼成的正方形的面积，
故答案为：．
由七巧板的作图原理，可知是正方形，它的面积是大正方形面积的，再求大正方形面积即可求解．
本题考查七巧板中的几何图形；能够理解七巧板的构图原理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：与互余，
，
，
，
故答案为：。
根据题意得出等式，代入求出即可。
本题考查了余角和补角的应用，注意：如果设这个角为，则它的余角的度数是。
 

16.【答案】 

【解析】解：根据余角的定义，得的余角是；
故答案为．
根据余角的定义：和为度的两个角互为余角进行计算即可．
本题属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为度．
 

17.【答案】解：，，
，
又，
；
，，
，，
，
即．
或． 

【解析】

【分析】
本题考查的是角的计算等有关知识．
依据，，即可得到，再根据，即可得出的度数；
依据，，可得，，进而得到；
分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值．
【解答】
 解：见答案；
解：，，如备用图，当直线恰好平分锐角时，，此时，三角板旋转的角度为，
；
当在的内部时，三角板旋转的角度为，
．
故答案为或．  

18.【答案】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为 根据题意得：
，
解得，．
答：这个角为． 

【解析】设出这个角，表示出这个角的补角和余角，进而用方程求解即可．
考查补角、余角的意义和表示方法，利用补角和余角之间的关系列方程是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】在的内部作，即为所求．
本题考查作图复杂作图，余角和补角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：设，则，，

，

，

是的平分线，

，

即．

解之，得．

即．

【解析】此题考查了余角和补角，本题体现了方程等代数知识在几何中的应用，设，则，根据列方程解答即可．
 

21.【答案】解：；；
如图，，理由是：
设，则，
平分，
，
，
，
即． 

【解析】

【分析】
本题考查了余角的定义，角平分线的定义和平角的定义，以及角的和差关系，熟练掌握平角和余角的定义是关键，并注意利用数形结合的思想．
先根据直角计算的度数，再根据角平分线的定义计算的度数，最后利用平角的定义可得结论；
设，则，根据角平分线的定义表示，再利用互余的关系求的度数，可得结论．
【解答】
若，
，
，
平分，
，
；
若，
，
平分，
，
；
故答案为：；；
见答案．  

22.【答案】解：、、三点共线，，
；
，
，
，
，
平分，
，
． 

【解析】根据平角的定义即可得到结论；
根据余角的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，互余的两角之和为，互补的两角之和为是需要同学们熟练掌握的内容．
 

23.【答案】解：；；
与互余，，
，
平分，
，
，，，
，
整理得，；
中与的数量关系不成立，
与互余，
，
平分，
，
，，，
，
整理得． 

【解析】

【分析】
本题考查了互余的概念，角平分线的定义，角的计算，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据互为余角的两个角的和等于列式计算即可得解；根据角平分线的定义求出，再根据计算即可得解；
先表示出，然后表示出，再根据，整理即可得解；
由题意可得，再得，由，，，可得和的关系．
【解答】
解：与互余，
，
平分，
，
；
故答案为；；
见答案；
见答案．