初中数学7.5 解直角三角形优秀同步达标检测题

这是一份初中数学7.5 解直角三角形优秀同步达标检测题，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
7.5解直角三角形苏科版初中数学九年级下册同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，中，，、相交于点，，，，则的面积是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是(    )A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 无法确定如图，在平面直角坐标系中放置三个长为，宽为的矩形，则(    )
A.  B.  C.  D. 如图，，为四边形的对角线，，，若则的值是(    )A.
B.
C.
D. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点，，均在网格交点上，是的外接圆，则的正弦值为(    )A.
B.
C.
D. 如图，已知点，，直线经过、两点，点为直线在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点，则的面积最小值为(    )
A.  B.  C.  D. 已知在中，，，那么以边长的倍为半径的圆与以为直径的圆的位置关系是(    )A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含如图，已知中，，、分别是边、上的点，，且如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是(    )
 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定如图，在平行四边形中，，为的中点，连接，，下列结论中：
；；当时，≌；当时，．
其中正确的结论是(    )
A.  B.  C.  D. 已知：如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一动点不与，重合，连接，将沿翻折得，连接，，当线段的长取最大值时，的值为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）如图，半径为的与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则          ．
 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、已知，则______．
如图，等腰三角形中，，，，点在边上运动可与点，重合，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则长的最大值为______．
如图，在矩形中，，，点是边上一点，平分，则的值是______．
   三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）如图，▱中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作，分别交边、于点、点在边上，交于点，为的中点．
求证：四边形为菱形；
已知，连接，当与相切时，求的长．
如图，在延长线上，与的平分线、交于点．
若，求的度数．
若且，求的值．
若为锐角，作交延长线于点，当与相似时，请求出的值．
如图，已知在平行四边形中，过点作，垂足为点，，，．
求平行四边形的面积；
联结，求的值．
如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．
求证：；
若，，求的长．
如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
求证：是圆的切线；
已知，，求长度及阴影部分面积．
如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．
求证：四边形是菱形．
若，，则______．
如图，在平行四边形中，点为边的中点，联结、，与互补，．
求的长；
求的正切值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方法一：如图，延长交于点，过点作于点，

设，
，
，
，
，，，
，
由翻折可知：
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
是的角平分线，
，
，
解得．
方法二：
如图，过点作，
由折叠可知：，
，

，
设，则，
由折叠性质可知，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
解得，
，，
在直角三角形中，，
解得．
故选：．
方法一，延长交于点，过点作于点，设，根据已知条件和翻折的性质可求的值，再证明是的角平分线，可得，进而可得的长．方法二，过点作，首先得到度，度，再根据平行线的性质可得到，设，由折叠性质可知，，在直角三角形中，根据勾股定理即可得的长．
本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 2.【答案】 【解析】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，

则，
，，
，，
∽，
，
，
，
，则，
，，
，
，
，
．
故选：．
过点作的垂线，交的延长线于点，可得∽，可得，由，，可求出的长，又，，则，解直角，可分别求出和的长，进而可求出的面积．
本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
根据三角函数的定义得到，根据勾股定理求得，和的半径比较即可．
【解答】
解：中，，，，
，
，
，
，
与的位置关系是相切，
故选：．  4.【答案】 【解析】解：如图，过作于，延长交于，
依题意，，，
在中，，
在中，，
，
，
，
．
故选：．
如图，过作于，延长交于，依题意得到，，，然后利用勾股定理求出、，接着利用面积法求出，再利用勾股定理求出，最后利用三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，同时也利用了勾股定理，有一定的综合性．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
为等边三角形，
过点作，交于点，设与交于点，如图，

则有：，，
设，则，
，，
，
，
，

，
解得：，
．
故选：．
根据，得出的度数，则在中，设，则；证明为等边三角形，过点作，交于点，设与交于点，则，从而，设，则，根据列出关于的方程，解得值，则可求得的值．
本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，明确锐角三角函数的定义及特殊角的函数值是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：如图，延长交于点，连接，

在中，，
由圆周角定理得：，
，
故选：．
延长交于点，连接，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、正切的定义、圆周角定理，正确作出辅助性是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：点，，
，，
在中，，
是的直径，
，
，
，
，
，
的面积

，
当最小时，的面积最小，
当时，最小，
的面积，
，
，
的面积的最小值
，
故选：．
根据已知可得，，从而在在中，利用勾股定理求出的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后根据垂线段最短可知，当时，最小，从而可得的面积最小，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：取的中点，连接，

在中，，，
设，，
，，
，
，
以边长的倍为半径的圆与以为直径的圆的位置关系是内含，
故选：．
取的中点，连接，通过解直角三角形可设，，则，，再根据圆与圆的位置关系判定可求解．
本题主要考查解直角三角形，圆与圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系是解题的关系．
 9.【答案】 【解析】解：设，，则，
，
，，
，
，，
，
如图，与交于点，则，

在中，由可得，
，
，
，为半径，
与直线相切．
故选：．
设，，则，由，且可得及的长，作与交于点可得．
本题考查与圆有关的位置关系，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握圆与直线位置关系的判断．
 10.【答案】 【解析】解：延长交的延长线于点，如图，
四边形是平行四边形，
，，，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
所以正确；
，
，
设的面积为，则，
，
，
而，
，
；所以正确；
当时，
，
为等边三角形，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，所以正确；
当时，过点作于，于，如图，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，所以错误．
故选：．
延长交的延长线于点，如图，利用平行四边形的性质得到，，，再证明≌得到，，则，根据等腰三角形的性质得到，则可对进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由得到，利用三角形面积公式，设的面积为，则，，所以，而，则可对进行判断；当时，为等边三角形，则可计算出，，然后利用“”可判断≌，则可对进行判断；当时，过点作于，于，如图，利用为等腰直角三角形可设，则，利用勾股定理计算出，则，利用面积法计算出，则，接着利用勾股定理计算出，所以，于是可对进行判断．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形．
 11.【答案】 【解析】解：如图，由翻折可知：，
所以点在以为圆心，长为半径的圆上，点，，共线时，如图所示：此时最大，

在中，，
，，
，
点是边的中点，
，
，
由翻折可知：是的垂直平分线，
，
延长交于点，
，
平分，
，
过点作，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
在中，，根据勾股定理得：
，
，
解得，
在中，，，根据勾股定理得：
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
由翻折可知：，所以点在以为圆心，长为半径的圆上，点，，共线时，如图所示：此时最大，由翻折可知：是的垂直平分线，延长交于点，可得平分，过点作，然后证明≌，可得，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 12.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，且，，
，，，
，
，
故选：．
先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由锐角三角函数的定义即可得出答案．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，属于中档题．
得出，求得，即可求得，进行求解即可．
【解答】
解：连接，作于，

与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．  14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，解直角三角形等，求得，得出是解题的关键．
作轴于，轴于，则，，，，根据平行线的性质得出，根据题意得出，通过解直角三角形得到，即可得到，解得即可．
【解答】
解：作轴于，轴于，

点、的坐标分别为、，点在第一象限内，则，，
，，，，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，即，
解得，
故答案为．  15.【答案】 【解析】解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，
是等腰三角形，
，
过点作于点，

，
，
，
，
当最大时，取最大值，即点与点重合时，最大，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
最大值为：．
故答案为：．
由旋转知是顶角为的等腰三角形，可求得，当最大时，取最大值，即点与点重合时，最大，求出的长即可解决问题．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：过点作于，

四边形是矩形，
，，
，
是直角三角形，
，，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
过点作于，根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用全等三角形的判定和性质得出，进而利用勾股定理和三角函数解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理得出解答．
 17.【答案】解：证明：为的中点，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
，
四边形是平行四边形．
平分，
，
又，
，
，
四边形为菱形；
如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，设交于点，

则，
设，则
，
，
，
，
同理得，
，
当与相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知为切点，
在中，由勾股定理得：，
解得：舍负．
的长为． 【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
先由为的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出，再由平行四边形的性质得出，，进而判定四边形是平行四边形，然后证明，则可得结论；
过点作，交的延长线于点，过点作于点，设，则由，可用含的式子分别表示出、及，由勾股定理得关于的方程，解得的值即可．
 18.【答案】解：与的平分线、交于点，
，，
；
过点作于点，如图，

与的平分线、交于点，，
，，
，
，，
，
；
与相似，是锐角，
和都可能是直角，
当是直角时，如图，

∽，
，
由可知，，
，
，
即，
是直角，平分，
，
，
；
当是直角时，过点作于点，如图，

由可知：，，
∽，
，
和都是等腰直角三角形，，
平分，
，，
，
设，则，，，
，
的值为：或． 【解析】由角平分线的定义可得，，从而可求的度数；
过点作于点，可求得，从而可求的值；
根据两个三角形相似，分两种情况进行讨论：为直角时，为直角时，再结合图形进行分析，从而可求解．
本题主要考查相似三角形的判定，解直角三角形，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系．
 19.【答案】解：，
．
，，
．
，
；
过作，与的延长线交于点．

，
．
四边形是平行四边形，
．
．
，，
．
在中，．
． 【解析】通过解直角三角形可求得的长，利用勾股定理可求解的长，再利用平行四边形的性质可求解；
过作，与的延长线交于点结合平行四边形的性质可得利用解直角三角形即勾股定理可求解，的长，再根据正弦的定义可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 20.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
．
，
．
，
，
．
．
；
解：连接，则，如图，
在中，
，，
．
，
．
，
．
．
在中，
，
．
由知：，
∽．
即：．
解得：．
． 【解析】连接，则，利用，可得，通过证明得出，结论得证；
连接，在中，利用求得线段的长；在中，利用，解直角三角形可得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 21.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：在中，由于，
设，则，
，
在中，，，，由勾股定理得，
，
即：，
解得或舍去，
，，，
，，
∽，
，
即，
，



，
答：，阴影部分的面积为． 【解析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出，即，进而得出是切线；
根据直角三角形的边角关系可求出、、、，再根据相似三角形的性质可求出，根据进行计算即可．
本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
 22.【答案】 【解析】证明：在矩形中，，
，，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形，

▱是菱形．
解：，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
故答案为：．
证明四边形是平行四边形，进而证明是菱形即可；
根据三角函数和勾股定理解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据菱形的判定和性质解答．
 23.【答案】解：在平行四边形中，，，
，
与互补，
，
，
∽，
：：，
点为边的中点，
，
：：，
解得；
过点作的垂线交的延长线于点，

设，，则，
由勾股定理可得：，，
，
解得，
，，
． 【解析】结合平行四边形的性质证明∽，列比例式可求解的长；
过点作的垂线交的延长线于点，设，，则，利用勾股定理可得，计算可求解值，进而可求解，的长，再解直角三角形可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．