高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案及答案

2.5.1　直线与圆的位置关系

【学习目标】

【自主学习】

一．直线与圆的三种位置关系

二．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(　 　)

(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.(　 　)

(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(　 　)

(4)过不在圆内的一点一定能做两条切线.(　 　)

【经典例题】

题型一  直线与圆的位置关系

点拨：直线与圆位置关系判断的三种方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

例1  已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．

【跟踪训练】1 已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.

题型二  圆的切线方程

点拨：

1.求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

2.求圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．

②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．

提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．

例2 （1）求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程。

（2）求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程。

（3）

【跟踪训练】2 (1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为________．

(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)

A.1      B.2       C.       D.3

题型三  直线与圆相交

点拨：求直线与圆相交时的弦长有三种方法

①    交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝求解.

②弦长公式：

如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0).

③几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.

通常采用几何法较为简便.

例3 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.

(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．

【跟踪训练】3 圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为______________.

【当堂达标】

1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)

A.相切   B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心   D.相离

2.直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)

A．4　　　　B．2　　　　C．　　　　D．

3.(多选)已知直线和圆，则（    ）

A.直线l恒过定点

B.存在k使得直线l与直线垂直

C.直线l与圆O相交

D.若，直线l被圆O截得的弦长为4

4.已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________．

5.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．

6.已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上．

(1)求圆C的方程；

(2)过点的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．

【参考答案】

【自主学习】

两个 一个 没有   两个 一个  零个  d＜r  d＝r  d＞r  Δ＞0 Δ＝0  Δ＜0

【小试牛刀】

×    √    √    ×

【经典例题】

例1 解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，

(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.

∵Δ＝4m(3m＋4)，

(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

(3)当Δ<0时，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.

圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.

(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

(3)当d>2时，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

【跟踪训练】1 解：方法一　(代数法)

由方程组消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.

∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280>0，

∴该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交.

方法二　(几何法)

圆心(7,1)到直线l的距离为d＝＝2.

∵d<r＝6，∴直线l与圆C相交.

例2 （1）解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， kPC＝，

∴切线的斜率k＝－2，

∴切线方程为：y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.

（2）解析　P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，

∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.

当斜率存在时，设切线的斜率为k，

则切线方程为y－3＝k(x－2)即kx－y＋3－2k＝0，

∴＝1，∴k＝0，

∴切线方程为y＝3，

当斜率不存在时，切线方程为x＝2.

∴切线方程为y＝3或x＝2.

【跟踪训练】2 (1)x＋2y－3＝0解析：根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，

即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2,0)，

直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，

则P在直线l上且MP与直线l垂直．

kMP＝＝2，则有－＝－，则有b＝2a，

又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，

则直线l的方程为x＋2y－3＝0.

（2）  C 解析：圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝＝2. 所以切线的最小值为l＝＝.

例3 解：(1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长

|AB|＝＝.

(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，

由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.

①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；

②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.

由点到直线的距离公式，得3＝，

解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.

综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.

【跟踪训练】3 (x－2)2＋(y＋1)2＝4 解析：设圆的半径为r，由条件，得

圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝.

又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2，

即半弦长为，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，

∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.

【当堂达标】

1. B 解析：∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，

∴直线与圆x2＋y2＝1相交，

又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.

2.B 解析：∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，

∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.故选B.

3.BC 解析：对于A、C，由，得，令，解得，

所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；

对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，

所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC.

4.相交 解析：由直线方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令得

故直线l过定点A(3,1)．由|AC|＝＝＜5得A点在圆内，因此直线l与圆C相交．

5. x＋2y－5＝0 解析：由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.

6.解：(1)AB的中点坐标，AB的斜率为.可得AB垂直平分线方程为2x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.

(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过，

∴直线l的方程为y－＝k(x－1)，即y＝kx＋－k，

则圆心(0,0)到直线的距离d＝，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，

则有＋()2＝4，解得：k＝－，则直线l的方程为y＝－x＋.

当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．

∴直线l的方程为x＝1或y＝－x＋.