专题08相似形（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题08相似形
专题综述课程要求

利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：
(1)首先观察欲证平行线截哪个三角形；
(2)再观察它们截这个三角形的哪两边；
(3)最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可，
当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段(或其他相等线段)的比作为中间比.
常用的有用结论包括：
1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
2.推论
(1)平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
(3)三角形的两腰被一条直线所截的对应边成比例.
那么这条直线平行于底边.
3.三角形的内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边的长度比等于对应夹角两边的长度比.
课程要求


《初中课程要求》
①了解比例的性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比.
③理解“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”
④了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方
⑤了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似.
⑥会用图形的相似解决一些简单的实际问题.
《高中课程要求》
相似是高中数学的一个重要工具，要求学生们在解题过程中能灵活应用相似的知识，很多时候相似是一个相当重要的工具，但是不会单独考查相似的证明

知识精讲


高中必备知识点1：平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线(如图3.1-1)，直线交于点，，另作直线交于点，不难发现
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.


高中必备知识点2：平行线分线段成比例定理的推论

推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
在中，为的平分线，求证：.

证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，

AD平分
由知

.
上述试题的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角的两边之比).

高中必备知识点3：射影定理
我们把下面试题的结论称为射影定理：
如图,在直角三角形ABC中，为直角，.
求证：(1)，；
(2)

证明 (1)在与中，，
∽，
同理可证得.
(2)在与中，，
∽，
典例剖析


高中必备知识点1：平行线分线段成比例定理

【典型例题】
已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．

(1)如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD；
(2)如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝　 　°时，AB∥CD；
(3)如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD；
(4)如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．
【答案】(1)见解析；(2)当∠NCE＝80°时，AB∥CD；(3)当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD
；(4)当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD.
【解析】
(1)∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°
∴∠AEG＝60°
∵EG平分∠AEC
∴∠AEG＝∠CEG＝60°
∴∠CEF＝75°
∵∠ECN＝75°
∴∠FEC＝∠ECN
∴EF∥CD且AB∥EF
∴AB∥CD
(2)∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°
∴∠AEF＝40°
∵∠FEG＝30°
∴∠AEG＝70°
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG＝70°
∴∠FEC＝100°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠NCE+∠FEC＝180°
∴∠NCE＝80°
∴当∠NCE＝80°时，AB∥CD
(3)∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°
∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE
∴当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD
(4)∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°
∴当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD

【变式训练】
已知，如图，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，
求证：FE平分∠BED.

【答案】详见解析
【解析】
∵DC∥FE，∴∠1＝∠3，∠CDE＝∠4，
∵DE∥AC，∴∠2＝∠CDE，
∴∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴EF是∠BED的平分线

【能力提升】
如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．

【答案】DE∥AC．理由见解析.
【解析】
DE∥AC．理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADG=∠FGC=90°，
∴AD∥FG，
∴∠1=∠CAD，
∵∠1=∠2，
∴∠CAD=∠2，
∴DE∥AC．


高中必备知识点2：平行线分线段成比例定理的推论

【典型例题】
请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中， AD是角平分线．
求证：．

证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴． ①
AD是角平分线，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
(1)上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？(写出两条即可)
(2)用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；

(3)我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．
【答案】(1)①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理；(2)cm．(3)证明见解析．
【解析】
(1)证明过程中用到的定理有：
①平行线的性质定理；
②等腰三角形的判定定理；
③平行线分线段成比例定理；
(2)∵AD是角平分线，
∴，
又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，
∴，
∴BD=(cm)．
(3)∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面积的比=，
可得：．

【变式训练】
如图，PB和PC是△ABC的两条外角平分线。
①求证：∠BPC=90°-∠BAC．
②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？

【答案】①证明见解析②锐角三角形
【解析】
①证明：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分线，
∴∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°− (∠CBD+∠BCE)=180°− (∠A+∠ACB+∠BCE)=180°− (∠A+180°)=90°−∠A；
②根据①的结论，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故该三角形是锐角三角形。

【能力提升】
在直角三角形△ABC中，∠ACB=90∘,∠BAC的角平分线交BC于D，CE⊥AB于点E,交AD于点F,取BG=CD,连接FG.
求证：⑴BD=CG; ⑵FG∥AB.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
⑴. ∵BG＝CD
∴BG＋GD＝CD＋GD
∴BD＝CG
⑵

证明：作DH⊥AB于H，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠DHB＝90°，
∴CE∥DH，
∴∠1＝∠2，
又∵∠ACB＝90°,AD平分∠BAC,
∴DH＝DC，∠3＝∠4，
∵∠5＝∠6＝90°−∠3，
∠7＝90°－∠4，
∴∠5＝∠7，
∴CD＝CF，
∴DH＝CF，
∵BG＝CD，
∴BG＋GD＝CD＋GD，
即BD＝GC，
在△BHD和△GFC中
BD=GC∠1=∠2DH=CF
∴△BHD≌△GFC，
∴∠BHD＝∠GFC＝90°，
∴∠GFC＝∠BEC＝90°，
∴FG∥AB.


高中必备知识点3：射影定理

【典型例题】
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，O是△ABC内部的一个动点，△OBD是等腰直角三角形，OB＝BD．
(1)求证：∠AOB＝∠CDB；
(2)若△COD是等腰三角形，∠AOC＝140°，求∠AOB的度数．

【答案】(1)详见解析；(2)∠AOB的度数为110°或95°或125°．
【解析】
(1)∵△ABC和△OBD是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，OB＝BD，∠ABC＝∠OBD＝90°，
∵∠ABO+∠OBC＝∠CBD+∠OBC，
∴∠ABO＝∠CBD，
在△ABO和△CBD中
AB=BC∠ABO=∠CBDOB=BD，
∴△ABO≌△CBD(SAS)，
∴∠AOB＝∠CDB；
(2)设∠AOB的度数为x，则∠CDB＝x，∠CDO＝x﹣45°，
∠COD＝∠COB﹣∠DOB＝360°﹣140°﹣x﹣45°＝175°﹣x，
∠OCD＝180°﹣∠CDO﹣∠COD＝50°，
①当∠CDO＝∠COD时，x﹣45°＝175°﹣x，解得：x＝110°，
②当∠CDO＝∠OCD时，x﹣45°＝50°，解得：x＝95°，
③当∠COD＝∠OCD时，175°﹣x＝50°，解得：x＝125°，
故∠AOB的度数为110°或95°或125°．

【变式训练】
如图所示，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上，若，求的值．

【答案】
【解析】
如图,连结BD

∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC,AC=BC,AC+BC=AB
∴2AC=AB∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD
∴∠ACE=∠BCD.
在△AEC和△BDC中,

∴△AEC≌△BDC(SAS)
∴AE=BD,∠E=∠BDC.
∴∠BDC=45°
∴∠BDC+∠ADC=90°
即∠ADB=90°
∴AD+BD=AB
∴AD+AE-=2AC
又∵
∴AD= 3AE
∴10AE=2AC
∴
故答案是:

【能力提升】
如图，AD⊥BC，垂足为D．如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，
(1)求出AC、AB的长度；
(2)△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．

【答案】(1)AC=5，AB=25；(2)△ABC是直角三角形，理由见解析.
【解析】
(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵CD＝1，AD＝2，BD＝4，∴AC＝AD2+CD2=5，AB＝，AD2+BD2=25(写成20不算错)
(2)∵AC＝5，AB＝25，BC＝CD+BD＝5，
∴AC2+AB2＝BC2=25，∴∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形.
对点精练


1．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为( )

A．3 B．3 C．3 D．4
【答案】B
解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥EG，
∴△GEC∽△ABC，
∴，
∴，
∵BC=6，
∴EC=3，
故选：B．
2．如图，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，连接FB，交DE于点P，给出以下结论：①CN＝FN＋CD；②∠ADC＝∠ABF；③四边形CBFN为矩形；④∠AFB＋∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP·BC，其中正确结论的个数是( )

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
解：∵四边形ADEF是正方形
∴∠
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
在△和△中

∴
∴，故①正确；
③由①得，
∵
∴
∵∠
∴
∴四边形CBFN为矩形，故③正确；
②由③得，∠
∴∠
∵∠，
∴
而
∴∠，故②错误；
④由②得，∠
在△中，∠故④正确；
⑤∵∠，∠
∴∠
∵∠，∠
∴∠
∵∠
∴△
∴
∵
∴，故⑤正确，
综上，①③④⑤正确
故选：C
3．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为(　　)

A．5 B． C．5或 D．6
【答案】B
解：当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1，

∵DB平分∠ABC，
∴∠PBD＝∠CBD，
∵PD∥BC，
∴∠PDB＝∠DBC，
∴∠PBD＝∠PDB，
∴PB＝PD，
同理，DQ＝CQ，
∵∠APQ＝∠ABC，
∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝，
∴设AP＝4x，AQ＝3x，
∴PQ＝5x，
∵PB＝PD＝8﹣4x，PQ＝CQ＝6﹣3x，
∴8﹣4x+6﹣3x＝5x，
∴x＝，
∴PQ＝5x＝；
当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB，
∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，
∴BC＝10，
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，

∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，
∴DE＝DF＝DG，
∵S△ABC＝DE(AB+AC+BC)＝AB•AC，
∴DE＝＝2，四边形AEDF是正方形，
∴DF∥AP，
∴∠EPD＝∠FDQ，
同理∠EDP＝∠FQD，
∴△PED∽△DFQ∽△CAB，
∴＝＝＝，
∴PE＝，FQ＝，
∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝，
∴PQ＝PD+DQ＝+＝，
综上所述，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为，
故选：B．
4．如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与相交于点，则的值为( )

A． B． C． D．
【答案】A
过点C作CG∥EA交BA的延长线于点G，如图所示．


Rt△ABC中，．
∵AD=AC，AE⊥CD于点F，
∴AF是等腰△ACD底边CD上的高．
∴AE平分∠DAC，即∠1=∠2．
∵EA∥CG，
∴∠3=∠2，∠1=∠G．
∴∠3=∠G．
∴AG=AC=3．
∵EA∥CG，
∴．

∴．
设CE=x，则有．
解得，x=1.5．
∴在Rt△AEC中，tan∠CAE=．
故选：A．
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E是BC的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，下列结论：①AE⊥BD；②；③；④．则正确的有( )个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
解：设，则，,


矩形ABCD，
∠ABE=∠DCB=90°，
∴△ABE∽△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∵∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠BAE+∠ABD=90°，AE⊥BD，故①正确；
过点F作GQ⊥BC，则
BE//AD

则FQ=，

，

则，故②错误；
在Rt△ABE中，AB=，BE=，
，


矩形ABCD，

，，
,


故③正确；
BE//AD，

而
矩形
四边形为矩形，

，
在Rt△FQC中，由勾股定理可得
则==，故④正确；
综上所述，正确结论为①③④，故选C
6．如图，已知平行四边形中，为上任意一点(可以与重合)，延长到，使得，以为边作平行四边形，则长度的最小值为( )


A． B． C． D．
【答案】B
解：
记PE与CD交点为G，
∵四边形PFEC为平行四边形，
∴PF∥CE，
∴∠DPE＝∠CEP，∠PDC＝∠ECD，
∴△PGD∽△EGC，
∵DF＝PD，
∴PDPFCE，
∴，
∴，
∴PE＝3PG，
要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可，PG的最小值为当PG⊥CD时取PG，
∵ABCD是平行四边形
∴平行线间的距离处处相等
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH中，∵∠B＝60°，BC＝6，
∴sin∠B，即，
∴PG＝CH，
∴PE＝3PG，
故答案为：B．
7．如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则DE的长度为( )

A． B． C．3 D．
【答案】B
∵在矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°，
∴GE＝＝＝5，
根据折叠的性质：BG＝GF，GF＝GC＝4，
CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF，
∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°，
∠B＝∠AFG＝90°，
∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG＋∠EFG＝180°，
∴BC＝AD＝8，点A，点F，点E三点共线，
∵∠AGB＋∠AGF＋∠EGC＋∠EGF＝180°，
∴∠AGE＝90°，
∴Rt△EGF∽Rt△EAG，
∴，
即，
∴AE＝，
∴DE＝＝．
故选：B．
8．如图，矩形纸片中，，．点E、G分别在，上，将、分别沿、翻折，点A的对称点为点F，点D的对称点为点H，当E、F、H、C四点在同一直线上时，连接，则线段长为( )

A． B． C． D．
【答案】A
由翻折可知：，，
在中：，
∴，
如图所示：

，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
过点H作于点M，如图所示：

则，
∴，
∴，
解得：，，
则，
在中，
，
故选：A．
9．如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、对角线交于点，现有以下结论：①；②；③，其中正确的结论有(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
解：∵△MBC是等边三角形，
∴∠MBC＝∠MCB＝∠CMB＝60°，BM＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，
∴∠ABM＝∠DCM＝30°，
∵AB＝BM，
∴∠AMB＝∠BAM＝×(180°−30°)＝75°，
同理：∠CMD＝∠CDM＝75°，
∴∠AMD＝360°−75°−75°−60°＝150°；
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴∠MDN＝∠CDM−∠BDC＝75°−45°＝30°，
∵∠CMD＝∠CMD，∠MDN＝∠DCM＝30°，
∴△MND∽△MDC，
∴，
∴DM2＝MN•MC，
∵∠BAD＝∠ADC，∠BAM＝∠CDM，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴MA＝DM，
∴MA2＝MN•MC，
故②正确；
过点M作MG⊥AB于G，

设MG＝x，
Rt△BGM中，∠GBM＝30°，
∴BM＝BC＝AB＝2x，BG＝x，
∴AG＝2x−x，
∴
故③错误．
故选C．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠BAF＝∠CEF，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴△ABF≌△ECF(AAS)，
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴四边形ABEC是正方形，故①正确；
②∵CF∥AD，
∴△OCF∽△OAD，
∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，
∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，
∴OC：BE＝1：3，故②正确；
③∵AB＝CD＝EC，
∴DE＝2AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AB＝BC，
∴DE＝2×，故③正确；
④∵△OCF∽△OAD，
∴，
∴，
∵OC：AC＝1：3，
∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．

11．如图，在中，，，，过B作，过作，得阴影；再过作，过作，得阴影；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为_____．

【答案】
解：∵，
∴∠BA1A=∠A1B1B=90°，
∴∠ABA1=∠BA1B1
∴，
则相似比为，
那么阴影部分面积与空白部分面积之比为，
同理可得到其他三角形之间也是这个情况，
那么所有的阴影部分面积之和应等于．
故答案为：．
12．如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1BC，D2E2BC，D2E3BC；…，D2021E2021BC，则＝__．

【答案】
解：∵D1E1∥BC，
∴△AD1E1∽△ABC，
∴，
∴D1E1＝BC；
∵D1D2＝D1B，
∴AD2＝AB，
同理可得：D2E2＝BC＝(1﹣)BC＝[1﹣()2]•BC，
D3E3＝BC＝[1﹣()3]•BC，
∴DnEn＝[1﹣()n]•BC，
∴，
故答案为：1﹣()2021．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6．则点C的坐标为__．

【答案】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，
相似比为，EF＝6，
∴BC∥EF，AB＝BC＝2，
∴△OBC∽△OEF，
∴，即，
解得，OB＝3，
经检验：符合题意
∴点C的坐标为(3，2)，
故答案为：(3，2)．
14．如图所示，在中，，对角线，交于点，点在的延长线上，且．连接交于点，则______．

【答案】
如图，过点作，交于点，

四边形是平行四边形，
点是的中点，
是的中位线，
，
又，
，
，
设，则，
，
，，
边上的高等于边上的高，
，
故答案为：．
15．如图，矩形中，，，为中点，连接、交于点，连接，则的长为______．

【答案】
如图，过点P作于点F．
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
根据所作辅助线可得：，
∴，
∴，即，
∴，．
∴．
∴在中，．

故答案为．
16．如图，在中，．点D为边上一点，将沿翻折得到交于点E．已知平分，则________．

【答案】
解：如图，过B′作B′F∥AD，交AC的延长线于F，
∴∠F=∠DAC，又∠AED=∠FEB′，
∴△ADE∽△FB′E，
∴，
∵AC平分∠DAB′，
∴∠DAC=∠B′AF，
∴∠F=∠B′AF，
∴B′F=AB′，
又∵△AB′D由△ABD翻折得到，
∴AB=AB′，∠BAD=∠DAB′，
∴B′F=AB，
∴，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，
过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AG=x，
∵∠BAD=60°，
∴AD=2x，DG=x，
在△ABC中，，
∴BC=，
在△BDG中，tan∠B=，
∴BG=DG=x，
∴AB=AG+BG=x=，
∴x=，
∴AD=2x=，
∴，
故答案为：．

17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上(不与两端点重合)，若，则折叠后重叠部分的面积为_____．

【答案】
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵，
∴DF=1，FC=2，

∵沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，
∴设BN=NF=x，则NC=(4-x)，
∴在直角三角形NCF中，
∴
解得x=，4-x=，
∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，
∴∠NFC+∠DFQ=90°，
∴∠FNC=∠DFQ，
∴△NCF∽△FDQ，
∴FD：NC= FQ：NF= DQ：CF=1：，
解得DQ=，FQ=，
∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，
∴EQ=DQ，
∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，
∴△MEQ≌△FDQ，
∴ME=FD=1，
∴AM=ME=1，
∴重叠面积=四边形ABNM的面积-△MEQ面积
=
=，
故答案为：．
18．如图，四边形中，，．点在边上，，，，点在射线上，连接，当直线与直线的夹角等于45°时，线段的长为______．

【答案】或13
解：连接DE
∵，
∴四边形ABED是平行四边形
∴AB∥DE
又∵，，
∴CE=CD=BC-BE=3
∴△ECD是等腰直角三角形
∴∠B=∠DEC=45°

如图1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°，
过点A作AH⊥BC，延长BM，AD交于点G
由题意可得，四边形AHCD为矩形
∴AH=DC=3，AD=CH=2
∴EH=BC-BE-CH=1
在Rt△AEH中，AE=

∵∠AEB=∠BEN，
∴△EBN∽△EAB，
∴，，解得：，
∵AD∥BC
∴△ANG∽△ENB
∴，，解得：
∴DG=1
∵∵AD∥BC
∴△DGM∽△CBM
∴，，解得：DM=，
如图2，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，
延长MB，DA交于点G
由题意可得：AB=


∵∠BAE=∠NAB，
∴△BNA∽△EBA，
∴AB2=AE•AN，，解得：，
∵AD∥BC
∴△ANG∽△ENB
∴，，解得：
∴DG=
∵AD∥BC
∴△DGM∽△CBM
∴，，解得：DM=，
综上所述，可知DM的长为或13．
故答案为：或13．
19．如图，正方形中，，分别在，上，，分别交于，，连接，且知.下列结论：
①；②；③；④.其中，一定正确的有__________(填序号).

【答案】①②④
解：①将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则∠BAP=∠DAF，AF=AP，PB=DF．
∵，∠C=90°，
∴∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAP=45°，即∠EAP=45°，
∴∠EAF=∠EAP，
在△EAF和EAP中
，
∴△EAF≌△EAP，
∴PE=EF，
∴PB+BE=EF，
∴，故①正确；

②∵∠ANM=∠DNF， ∠MAN=∠NDF=45°，
∴∠AMN=∠DFN．
∵∠AMN=∠BME，
∴∠AMN=∠DFN，
∵∠MBE=∠NDF=45°，
∴，故②正确；
③若成立，则，
∴，
∴．
∵，分别在，上的动点，
∴MN不是定值，故③错误；
④∵EF=PE，
∴
=
=2S△APE
=2S△AEF，故④正确．
故答案为：①②④．
20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为__．

【答案】
解：延长CE、DA交于Q，如图1，

∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝=5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中

∴△QAE≌△CBE(AAS)，
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，

同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴，
∴，
解得：BN＝，
∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
故答案为：．

21．如图，是的直径，点在上，于点，平分．

(1)求证：是的切线：
(2)若，，直接写出的半径的长．
【答案】(1)见解析；(2)
(1)证明：连接OC．

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴直线EC是⊙O的切线；
(2)解：连接BC，

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，
∵AD=4，cos∠CAB=，
设AC=4x，AB=5x，
∴，
∴x=，
∴AB=，
即⊙O的半径的长为．
22．四边形是正方形，点在射线上，以点，点为顶点作正方形(点，，，按顺时针方向排列)，连接，．

(1)如图1，点在线段上，求证：；
(2)如图2，点在线段上，连接．
①求证：；
②直接写出线段，，之间的关系：
(3)当，以点，，，，为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时的长．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②；(3)或
解：(1)∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
；
∴，
∴，
∴；
(2)①连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②；
理由如下：
∵FC=BG，CD=DF+CF，
∴CD=DF+BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
∴AD=DF+BG；
(3)解：①如图3，当点F在线段CD上时，
设DE=BG=x，则FC=x，
∴DC=AD=x+1，
过点E作EM⊥AD于点M，

∵∠AEF=∠ADF=90°，
∴A，E，D，F四点共圆，
∴∠AFE=∠EDM=45°，
∴EM=x，
∴S△ADE=AD×EM＝×(x+1)×x，S△ADF=AD×DF=x，
∴解得x=，x=(舍去)，
∴BG=
②如图4，当点F在线段CD的延长线上时，连接AC，

∵S四边形AEFD=S△AEF+S△ADF，
设AD=a，
∴AF2=DF2+AD2=1+a2，
∴S=(1+a2)+a=5，解得a=-1+2(负值舍去)，
∴AD=-1+2，
∴CF=2，
由(2)知△CFA∽△BGA，
∴，
∴BG=．
综上所述，BG的长为或
23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
(1)在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若BC=5，AC=12，求BD长．

【答案】(1)见解析；(2)
(1)当 ，时，．
如图1所示，过点C作，垂足为D，则点D就是所求作的点．

(2)证明：∵BC=5，AC=12，∠ACB=90o，
∴．
∵，
∴ ．
∴．
24．在坐标平面内，△ABC的顶点位置如图所示．
(1)将△ABC作平移交换(x，y)→(x+2，y﹣3)得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
(2)以点O为位似中心缩小△ABC得到△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为1：2，且点A与其对应点A2位于点O的两侧，画出△A2B2C2．

【答案】(1)见解析；(2)见解析
解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作．

25．如图，∠CAE＝∠BAD，∠E＝∠C．
(1)△ADE与△ABC相似吗？为什么？
(2)如果AB＝3AD，S△ABC＝9，那么△ADE的面积为多少？

【答案】(1)相似，理由见解析；(2)1
解：(1)△ADE与△ABC相似，
理由：∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC，
又∵∠E＝∠C，
∴△ADE∽△ABC；
(2)∵AB＝3AD，
∴，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ABC＝9，
∴△ADE的面积为1．
26．如图1，分别以的、为斜边间外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，点是的中点，连接、．


(1)求证：；
(2)如图2，若，，，求的正切值；
(3)如图3，以的边为斜边问外作等腰直角三角形，连接，试探究线段、的关系，并加以证明．
【答案】(1)证明见详解；(2)tan；(3)结论是：DG=EG，且DG⊥EG，证明见详解．
(1)∵和都是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠CAF=45°，
∴∠DAG=∠DAB+∠BAC=∠CAF+∠DAB=∠BAF，
∴AD=ABcos45°=，
∴，
∵点是的中点，
∴AG=，
∵AF= ACcos45°=，
∴，
∴，
∴，又∠DAG =∠BAF，
∴△ADG∽△ABF；

(2)∵∠BAC=90°，和都是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠CAF=45°，
∴∠DAF=∠DAB+∠BAC+∠CAF=45°+90°+45°=180°，
∴点D，A，F三点共线，
∵∠DAB=90°即∠FDB=90°，
∴△DBF为直角三角形，
∵△ADG∽△ABF；
∴∠AGD=∠AFB，
∵，，
∴BD=AD=ABcos45°=，AF= ACcos45°=，
∴DF=AF+AD=3+2=5，
∴tan=tan∠AFB=；

(3)结论是：DG=EG，且DG⊥EG，
理由如下：
∵△BCE和△ACF是等腰直角三角形，
∴∠BCE=∠ACB=45°，
∴EC=BCcos45°=，
∴，
∵点是的中点，
∴CG=，


∴CF=AF= ACcos45°=，
∴，
∴，
∴，
∴∠BCE+∠ACB=∠ACF+∠ACB，
即∠ECG=∠BCF，
∴△ECG∽△BCF，
∴BF=EG，∠EGC=∠BFC，
由△ADG∽△ABF得BF=EG，∠AGD=∠AFB，
∴DG=EG，∠AGD+∠EGC=∠AFB+∠BFC=90°，
∴∠DGE=90°，
∴DG=EG，且DG⊥EG．
27．已知函数和的图象在第一象限内的交点为A，且函数的图象分别与x轴正半轴交于点B，C．
(1)求点A的坐标；
(2)若，
①求证：；
②函数图象的顶点分别为M，N，设的外心为点P，的内心为点Q．问是否存在m，n的值，使得O，P，Q三点共线？若存在，求m，n的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)①见解析；②存在，
(1)解：联立
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
当时，，
∴；
(2)①证明：令，得，
解得，
∴，
同理，
过点A作于点D，则，
∴，
∵，，
∴，
∴；

②由题意得函数图象的顶点分别为，，
过点M作轴于点E，过点N作轴于点F，
则，．
∵外心P在x轴上，
∴当O，P，Q三点共线时，Q也在x轴上，
此时，，
∴，
∴．
联立
解得，(舍去)，
∴存在，使O，P，Q三点共线．

28．(1)问题探究：
如图1，△ABC，△ADE均为等边三角形，连接BD、CE，试探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由．


(2)类比延伸
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，连接BD，CE，试确定BD与CE的数量关系，并说明理由．
(3)拓展迁移
如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若将线段DA绕点D按逆时针方向旋转90°得到DA′，连接BA′，求线段BA′的长．
【答案】(1)BD＝CE；理由见解析；(2)BD＝2CE，理由见解析；(3)A′B＝．
解：(1)∵△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°，
∴∠EAC＝60°﹣∠CAD，∠DAB＝60°﹣∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB，
在△EAC与△DAB中，
∴△EAC≌△DAB，
∴BD＝CE；
(2)BD＝2CE，
理由：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴∠EAD＝∠CAB＝60°，AD＝2AE，AB＝2AC，
∴∠EAC＝∠DAB，△EAD∽△CAB，
∴，
∴△EAC∽△DAB，
∴，
∴BD＝2CE；
(3)连接A′A，如图③，


∵AC⊥BC，且AC＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形．
∴，
∵将线段DA绕点D按逆时针方形旋转90°得到DA′
∴△AA′D为等腰直角三角形．
∴△ABC∽△AA′D．
∴．
∴．
又∵∠CAB＝∠A′AD，∴∠A′AB＝∠DAC，
∴△CAD∽△BAA′．
∴，即，
∴A′B＝．
29．如图，在矩形中，，点是边上一点(点不和点、点重合)联结，过点作的垂线交于点，交对角线于点．设，

(1)当时，求的值；
(2)用含的代数式表示的值；
(3)在点运动的过程中，能否与相似，如能，请求出此时之长，不能请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)能，
解：(1)：四边形是矩形，
，
，
，
，
，

，
，
．
(2)如图，延长交于．

，

，

，
，
，
，

．
(3)能．
与相似，
只有时，满足条件，
∴，
，
，
在中，
，
，

由(2)可知，，
，
．
30．如图，中，是斜边的中线．

(1)尺规作图：画出以为直径的，与交于点，与交于点；
(2)若；，求的长：
(3)连接，交于点，若，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
解：(1)以C为圆心大于定长为半径画弧，以D为圆心大于定长为半径画弧，两弧交于点，连接两弧交点交CD于点O，以O为圆心，OC为半径画圆；

(2)连接CE，
∵CD为直径，
∴∠CED=∠CEB=90°，

∵∠CEB＝ACB，∠ABC＝∠CBE，
∴△ABC～△CBE，
同理，△ACE～△ABC，
∴2，
AB，CE，
∵S△ABC，
∴BE，AE，
∵，
∴，
(3)∵CD为△ABC中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠DCA＝∠DAC，
∴FO∥AD，
∴，
∴，
令DE＝3x，则CD＝4x＝AD＝BD，BE＝x，
∴CEx，
∴．