专题02分解因式（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

这是一份专题02分解因式（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套），文件包含专题02分解因式教师版含解析-2022年初升高数学衔接讲义第1套docx、专题02分解因式学生版-2022年初升高数学衔接讲义第1套docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。


专题02分解因式
专题综述课程要求

因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备.
因此，它起到了初、高中承上启下的作用.
分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题中的应用较多，在几何学中同样有应用.
用十字相乘法分解因式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘法写出的因式漏写字母.
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
课程要求


《初中课程要求》
1、大大弱化了十字相乘法的
学习.一般只接触过二次
项系数为1的十字相乘法
2、初中重点学习了提取公因式法、公式法，针对ax2+bx+c(a≠0)的因式分解，只学习了二次项系数为1的因式分解
《高中课程要求》
1、有大量二次项系数不为1的十字相乘法，会拆分多项式，用十字相乘法因式分解
2、对于项数比较多的多项式，要综合使用提取公因式法、分组分解法、十宇相乘法、公式法来进行因式分解，还会接触到拆项法、添项法等.针对ax2+bx+c(a≠0)的因式分解要用公式法或十字相乘法因式分解

知识精讲


高中必备知识点1：十字相乘法

要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则.
要点诠释：(1)在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，
则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号；
(2)若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即
，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
要点诠释：(1)分解思路为“看两端，凑中间”
(2)二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法

1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：
3.提公因式的步骤：
（1） 确定公因式 (2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式)

4.注意事项：因式分解一定要彻底

高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解

若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
典例剖析


高中必备知识点1：十字相乘法

【典型例题】
阅读与思考：将式子x2-6x+8分解因式．
法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.
由x2+p+qx+pq=x+px+q得x+px+q=x2+p+qx+pq，；
分析：这个式子的常数项8=(-2)×(-4)，一次项系数-6=(-2)+(-4)，
所以x2-6x+8=x2+(-2)+(-4)x+(-2)×(-4).
解：x2-6x+8=(x-2)(x-4).
法二：配方的思想. x2-6x+8
=x2-6x+9-9+8
=(x-3)2-1
=(x-3+1)⋅(x-3-1)
=(x-2)⋅(x-4).
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)用两种方法分解因式：x2-10x+21；
(2)任选一种方法分解因式：(x2-6)2-2(x2-6)-3.
【答案】(1)(x-3)⋅(x-7)；(2)(x2-5)(x+3)(x-3)
【解析】
(1)法一：x2-10x+21
=(x-3)⋅(x-7),
法二：x2-10x+21
=x2-10x+25-25+21
=(x-5)2-4
=(x-5+2)⋅(x-5-2)
=(x-3)⋅(x-7) ,
(2)(x2-6)2-2(x2-6)-3
=(x2-6+1)(x2-6-3)
=(x2-5)(x2-9)
=(x2-5)(x+3)(x-3).
或
(x2-6)2-2(x2-6)-3
=(x2-6)2-2(x2-6)+1-1-3
=(x2-6-1)2-4
=(x2-7)2-4
=(x2-7+2)(x2-7-2)
=(x2-5)(x2-9)
=(x2-5)(x+3)(x-3) .
【变式训练】
阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+(m+n)x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+(m+n)x+mn＝(x+m)(x+n)．
例如：x2+5x+6＝x2+(2+3)x+2×3＝(x+2)(x+3)．
运用上述方法分解因式：
(1)x2+6x+8；
(2)x2﹣x﹣6；
(3)x2﹣5xy+6y2；
(4)请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．
【答案】(1)x+2x+4；(2)(x+2)(x-3)；(3)x-2yx-3y；(4)x(x-3)(x+1).
【解析】
解：(1)x2+6x+8=(x+2)(x+4)；
(2)x2-x-6=(x+2)(x-3)；
(3)x2-5xy+6y2=(x-2y)(x-3y)；
(4)x3-2x2-3x=x(x-3)(x+1)．
故答案为：(1)x+2x+4；(2)(x+2)(x-3)；(3)x-2yx-3y；(4)x(x-3)(x+1).
【能力提升】
由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
实例　分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试　分解因式：x2＋6x＋8；
(2)应用　请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
【答案】(1) (x+2)(x＋4)；(2) x＝4或x＝－1.
【解析】
(1)原式=(x+2)(x＋4)；　
(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.

高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法

【典型例题】
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
【答案】(1)提公因式，两次；(2)2004次，(x＋1)；(3) (x＋1)
【解析】
(1)上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．
故答案为：提公因式法，2次；
(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+ x(x+1)2003]
⋯
=
=(1+x)2005，
故分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：(x+1)2005．
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2…+x(x+1)n(n为正整数)的结果是：(x+1)n+1．
故答案为：(x+1)n+1．
【变式训练】
因式分解：
(1)16a2﹣4b2
(2)x3﹣2x2+x
(3)(a2﹣2b)2﹣(1﹣2b)2
【答案】(1)4(2a+b)(2a﹣b)；(2)x(x﹣1)2；(3)(a2﹣4b+1)(a+1)(a﹣1)．
【解析】
解：(1)原式＝4(4a2﹣b2)
＝4(2a+b)(2a﹣b)；
(2)x3﹣2x2+x
＝x(x2﹣2x+1)
＝x(x﹣1)2；
(3)(a2﹣2b)2﹣(1﹣2b)2
＝(a2﹣2b+1﹣2b)(a2﹣2b﹣1+2b)
＝(a2﹣4b+1)(a+1)(a﹣1)．
【能力提升】
分解因式：
(1)-4ab-8b2+10b
(2)2(n-m)2-m(m-n)
(3)15y(a-b)2-3y(b-a)
(4)6(m-n)3-12(n-m)2
(5)x2+3x+1=0，求2x2010+6x2009+2x2008的值
【答案】(1)-2b(2a+4b-5)；(2)(n-m)(2n-m)；(3)3y(a-b)[5a-5b+1]；(4)6(n-m)2(m-n-2)；(5)0
【解析】
(1)-4ab-8b2+10b = -2b(2a+4b-5)；
(2)2(n-m)2-mm-n=2n-m2+mn-m=(n-m)(2n-m)；
(3)15y(a-b)2-3yb-a=15ya-b2+3ya-b=3ya-b[5a-5b)+1]
(4)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2)
(5)2x2010+6x2009+2x2008=2x2008x2+3x+1=0

高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解

【典型例题】
因式分解：x2+2x2-7x2+2x-8
【答案】x-2x+4x+12
【解析】
解：原式＝x2＋2x-8x2＋2x＋1
​＝x-2x＋4x＋12
【变式训练】
分解因式：x2-x2+x2-x-6．
【答案】(x2-x+3)(x+1)(x-2)．
【解析】
原式=(x2-x+3)(x2-x-2)
=(x2-x+3)(x+1)(x-2)．
【能力提升】
阅读材料：
对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式．但对于多项式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变．
解题过程如下：
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)
＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)
＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)
参照上述材料，回答下列问题：
(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法(　　)
A．提公因式法 B．平方差公式法
C．完全平方公式法 D．没有因式分解
(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________；
(3)请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．
【答案】(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m－2n)(m－4n)．
【解析】
(1)C；
(2)平方差公式法；
(3)m2－6mn＋8n2
＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2
＝m2－6mn＋9n2－n2
＝(m－3n)2－n2
＝(m－2n)(m－4n)．
对点精练


1．对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】D
解：①，此项错误；
②，此项正确；
③，此项错误；
④，此项正确．
故选D．
2．代数式因式分解为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
解：．
故选：A．
3．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是( )
A．1 B．7 C．11 D．13
【答案】B
解：因为5x2+17x-12=(x+4)(5x-3)=(x+a)(bx+c)，
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-(-3)=7，
故选：B．
4．下列因式分解正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
解：A．，该选项分解错误，故不符合题意；
B．，该选项分解错误，故不符合题意；
C．，该选项分解正确，故符合题意；
D．，该选项分解错误，故不符合题意；
故选：C．
5．已知中，，若，，，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
∵a2﹣ab﹣2b2＝0，
∴(a﹣2b)(a+b)＝0，
∴a＝2b，或a＝﹣b(不符合题意)，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，
∴c＝b，
∴a：b：c＝2b：b：b＝2：1：．
故选：B．
6．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
解：A．原式不能分解，符合题意；
B．原式，不符合题意；
C．原式，不符合题意；
D．原式，不符合题意；
故选：A．
7．如图，中，，将沿方向平移个单位得(其中的对应点分别是)，设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为( )

A． B． C． D．
【答案】B
∵，
∴，
由平移可知，AD=b，
∴，
∵的面积比的大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选B.
8．若，，则与的大小关系为( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
∵，，
∴
=
=
=＞＞0，
∴．
故选A．
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”( )
A．56 B．60 C．62 D．88
【答案】B
解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2(m为自然数)，
∴“神秘数”=(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
10．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价,现有种方案：①第一次提价,第二次提价；②第一次提价,第二次提价；③第一次、第二次提价均为.其中和是不相等的正数.下列说法正确的是( )
A．方案①提价最多 B．方案②提价最多
C．方案③提价最多 D．三种方案提价一样多
【答案】C
解：设，，则提价后三种方案的价格分别为：
方案①:；
方案②:；
方案③:，
方案③比方案①提价多：


，
和是不相等的正数，
，
，
方案③提价最多．
故选：C．

11．若，，则代数式的值等于__．
【答案】-3
解：∵ab=3，a+b=-1，
a2b+ab2=ab(a+b)
=3×(-1)
=-3．
故答案为：-3．
12．若，，则________．
【答案】4
解：，
当，，
∴原式=．
故答案为：4．
13．分解因式：__________．
【答案】
原式，
，
故答案为：．
14．边长为a，b的长方形的周长为10，面积为5，则的值为_____．
【答案】25
解：∵边长为a，b的长方形的周长为10，面积为5，
∴2(a+b)=10，ab=5，
故a+b=5，
则a2b+ab2=ab(a+b)=25．
故答案为：25．
15．已知，，则代数式的值为________________．
【答案】
解：，，

故答案为：．
16．已知，则的值是_________
【答案】
由平方得：，
且，则：，
由得：，
∴
同理可得：，，
∴原式=
=
=
=
=
故答案为：．
17．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值为____．
【答案】1
解：∵=4，
∴z(x2﹣1)(y2﹣1)+x(y2﹣1)(z2﹣1)+y(z2﹣1)(x2﹣1)=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz(xy+yz+xz﹣1)﹣(x+y+z)(xy+yz+zx)+(x+y+z)=0，
∴xyz(xy+yz+xz﹣1)﹣(x+y+z)(xy+yz+zx﹣1)=0，
∴[xyz﹣(x+y+z)](xy+yz+zx﹣1)=0．
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣(x+y+z)=0，
∴xyz=x+y+z，
∴，
即的值为1．
故答案为：1．
18．已知，那么
______________．
【答案】22100
解：∵
=
==42925
∴=(2+1)(2-1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+┈+(50-49)(50+49)
=(2+1)+(4+3)+(6+5)+┈+50+49=1275
42925+1275=44200
44200÷2=22100.
19．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．

【答案】．
解：由面积可得：．
故答案为．
20．=_______．
【答案】
解：
=
=
=
=

21．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．

(1)若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形(如图2)．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；
(2)请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；
(3)在(2)的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？
【答案】(1)；(2)画图见解析，；(3)266．
解：(1)用面积和差计算得：；
用长方形面积公式计算得：；
可得等式为：；
(2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：
根据面积公式可得，；

(3) (2)中拼成的长方形周长为66，则，
解得，，
∴，即，
图1中小长方形的面积为24，则，
则，
；
拼成的长方形面积是266．
22．若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如．
(1)“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；
(2)若b是a的“十字点”，且a能被整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；
(3)m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当时，求的值．
【答案】(1)40，12；(2)4；(3)10
解：(1)“十字点”为7的“十字数”，
∵，∴130的“十字点”为12；
(2)∵b是a的“十字点”，
∴(b＞2且为正整数)，
∴，
∵a能被整除，
∴能整除2，
∴b-1=1或b-1=2，
∵b＞2，
∴b=3，
∴；
(3)∵m的“十字点”为p，
∴(p＞2且为正整数)，
∵n的“十字点”为q，
∴(q＞2且为正整数)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，p＞2，q＞2且p、q为正整数；
∴p＞q，p+q＞4；
∴p+q-1＞3；
∵18=3×6=2×9，
∴ 或；
解得：(不合题意舍去)，；
∴
23．发现与探索：
(1)根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
(2)根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
【答案】(1)①(a-10)(a-2)；②(a-8)(a-2)；③(a-5b)(a-b)；(2)①见解析；②28
解：(1)①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-42
=(a-10)(a-2)；
②(a-1)2-8(a-1)+7
=(a-1)2-8(a-1)+16-16+7
=(a-5)2-32
=(a-8)(a-2)；
③a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=(a-3b)2-4b2
=(a-5b)(a-b)；
(2)①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-16，
无论a取何值(a-6)2都大于等于0，再加上-16，
则代数式(a-6)2-16大于等于-16，
则a2-12a+20的最小值为-16；
②无论a取何值-(a+1)2都小于等于0，再加上8，
则代数式-(a+1)2+8小于等于8，
则-(a+1)2+8的最大值为8，
-a2+12a-8．
=-(a2-12a+8)
=-(a2-12a+36-36+8)
=-(a-6)2+36-8
=-(a-6)2+28
无论a取何值-(a-6)2都小于等于0，再加上28，
则代数式-(a-6)2+28小于等于28，
则-a2+12a-8的最大值为28．
24．把下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
解：(1)
=
=；
(2)
=
=
=；
(3)
=
=
=
=；
(4)
=
=
=
25．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且．(以上长度单位：cm)

(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果；
(2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．
【答案】(1)(m+2n)(2m+n)；(2)48cm
解：(1)2m2+5mn+2n2可以因式分解为(m+2n)(2m+n)；
故答案为：(m+2n)(2m+n)；
(2)依题意得，2m2+2n2=88，mn=10，
∴m2+n2=44，
∵(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴(m+n)2=44+20=64，
∵m+n＞0，
∴m+n=8，
∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为6m+6n=6(m+n)=48cm．
26．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)
解：(1)=；
(2)==
27．因式分解：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
解：(1)；
(2)=；
(3)，
=，
=；
(4)，
，
，
．
28．分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；(2)；(3)．
解：(1)原式．
(2)原式．
(3)原式．
29．用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④(x＋1)(x﹣6)＝0
(1)解题步骤正确的顺序是　 　；
(2)请用因式分解法解方程：(x＋3)(x﹣1)＝12
【答案】(1)②④①③；(2)x1＝﹣5，x2＝3
解：(1)∵x2﹣5x＝6，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴(x＋1)(x﹣6)＝0，
则x＋1＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
故答案为：②④①③；
(2)∵(x＋3)(x﹣1)＝12，
∴x2＋2x﹣15＝0，
则(x＋5)(x﹣3)＝0，
∴x＋5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝3.
30．先化简，再求值：(1﹣)，其中x＝﹣3．
【答案】，
解：(1﹣)
=
=，
将x＝﹣3代入，则原式＝ ＝．