专题01数与式的运算（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

专题01数与式的运算

初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.

二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.

当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.

本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)，掌握运算性质，能够区别与的异同.

通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式；

(2)完全平方公式．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式；

(2)立方差公式；

(3)三数和平方公式；

(4)两数和立方公式；

(5)两数差立方公式．

一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．

1．分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式的意义

1．分式的意义

形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

；

．

上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

【典型例题】

阅读下列材料：

我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；

例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．

例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解(如图)，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．

例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3(如图)，满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)方程|+2|=3的解为　     ；

(2)解不等式：|－2|＜6；

(3)解不等式：|－3|+|+4|≥9；

(4)解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.

【变式训练】

实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .

【能力提升】

已知方程组的解的值的符号相同.

(1)求的取值范围；

(2)化简：.

【典型例题】

(1)计算：

(2)化简：

【变式训练】

计算：

(1)     

(2)

【能力提升】

已知10x＝a，5x＝b，求：

(1)50x的值；

(2)2x的值；

(3)20x的值．(结果用含a、b的代数式表示)

【典型例题】

计算下面各题．(1);

(2)

【变式训练】

小颖计算时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：

解：原式＝

＝

＝．

她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．

【能力提升】

先化简，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-．

【典型例题】

先化简，再求值，其中x满足x2+x﹣1＝0．

【变式训练】

化简：÷(4x－y)

【能力提升】

已知：，则的值等于多少？

1．下列运算正确的是(　　)

A．＝ B．

C．3x3﹣5x3＝﹣2 D．8x3÷4x＝2x3

2．下列计算结果正确的是(　　　)

A． B．

C．÷= D．

3．若式子有意义，则下列说法正确的是(    )

A．且 B． C． D．

4．计算的结果是(    )

A．3 B．0 C． D．

5．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是(    )

A． B． C．或 D．2或6

6．设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是(　　)

A． B． C． D．

7．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为(    )．

A．，，0，2，4 B．，，2，4

C．0 D．，0，4

8．如图是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示)(    )．

A． B． C． D．

9．与最接近的整数是(    )

A．3 B．4 C．5 D．6

10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为(     )

A． B． C． D．

11．若，则分式______﹒

12．若分式的值为零，则的值为_______．

13．已知整数a满足，则分式的值为________．

14．计算的结果等于_________．

15．计算__．

16．化简： ___________

17．化简的结果为____．

18．若有理数x，y，z满足(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣1|+|y﹣3|)(|z﹣3|+|z+3|)＝36，则x+2y+3z的最小值是_____．

19．已知，则的最小值为__．

20．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．

21．(1)计算：；

(2)先化简，再求值：，其中．

22．计算：．

23．已知a，b，c满足，请回答下列问题：

(1)直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．

(2)a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；

①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．

②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．

24．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：

(1)_______．

(2)找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由

(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

25．(1)已知，求代数式的值；

(2)化简：．

26．先化简，再求值：，其中．

27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．

(1)嘉嘉认为污染的数为，计算“”的结果；

(2)若，淇淇认为存在一个整数，可以使得“”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．

28．(1)计算：

(2)先化简再求值：，其中．

29．已知，求代数式的值．

30．计算：

(1)   

(2)

(3)      

(4)