专题10圆（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

专题10圆

平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破.

直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.

常用的结论包括：

1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

5.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？

观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.

当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在中，.

如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.

我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.

从上面对圆的讨论，可以得出：

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：

和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

【典型例题】

在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，1)，D(﹣2．﹣2)．

(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；

(2)E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．

【变式训练】

在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．

(1)已知点A的坐标为(﹣3，1)

①在点E(0，3)、F(3，﹣3)、G(2，﹣5)中，点A的“等距点”是　   　；

②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为　   　；

(2)直线l：y＝kx﹣3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D．

①若T1(﹣1，t1)、T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；

②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．

【能力提升】

如图，在平面直角坐标系中，已知点．

请在图中作出经过点A、B、C三点的，并写出圆心M的坐标；

，试判断直线BD与的位置关系，并说明理由．

【典型例题】

如图，点，将绕点旋转得到.

(1)请在图中画出，并写出点的坐标；

(2)求旋转过程中点的轨迹长.

【变式训练】

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P(x1，y1)、

Q(x2，y2)，则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|==2．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．

(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是　   　；

(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；

问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．

【能力提升】

在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P的坐标满足(m，m﹣1)，所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x﹣1的图象．即点P的轨迹就是直线y=x﹣1．

(1)若m、n满足等式mn﹣m=6，则(m，n﹣1)在平面直角坐标系xOy中的轨迹是　   　；

(2)若点P(x，y)到点A(0，1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P的轨迹；

(3)若抛物线y=上有两动点M、N满足MN=a(a为常数，且a≥4)，设线段MN的中点为Q，求点Q到x轴的最短距离．

1．如图，将⊙O沿弦折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为6，则的长为(    )

A． B．π C． D．

2．如图，为的直径，直线与相切于点，直线交于点、交于点，连接、，则下列结论错误的是(    )

A．若，则平分； B．若平分，则；

C．若，则平分； D．若，则．

3．如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是(    )

A． B． C． D．

4．如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则(　　)

A．若，则弧的度数为

B．若，则弧的度数为

C．若，则弧的度数为

D．若，则弧的度数为

5．如图，为的直径，C为圆上一点，过点C的切线与直径的延长线交于点D，若，则的度数为( )

A． B． C． D．

6．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为(　　)

A．2﹣1 B．2 C．+1 D．

7．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是(　　)

A． B． C． D．

8．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为(　　)

A．9 B．10 C．8 D．12

9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为( )

A．5 B．6 C． D．

10．如图，内接于，其外角平分AD交于D，于M，则结论①②③④中正确的是(    )

A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④

11．如图，在扇形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于弧点，得扇形，若，则图中阴影部分的面积为______．

12．如图，△ABC内接于⊙O， E是边BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接CD，若∠BCD＝26°，则∠A＝__°．

13．如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，的长为半径画弧，再以为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为，则________．

14．如图，是的直径，弦，，．则图中阴影部分的面积为___________．

15．如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为__________．

16．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：

①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．其中正确的是___(只需填序号)

17．如图，锐角内接于，于点H，直径，交于点D，，连结，，已知圆的半径为13，，则____，四边形的面积为_______．

18．如图，的弦、相交于点，为弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的半径为，，则________．

19．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_____．

20．如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为______．

21．如图，四边形内接于，是直径，，过点作交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的值．

22．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．锐角三角形的最小覆盖圆是该三角形的外接圆．

(1)分别在图1，图2中作出的最小覆盖圆．(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)根据(1)中的作图，钝角三角形的最小覆盖圆是______；

(3)某地要修建一个基站，服务四个村庄E、F、G、H(其位置如图3所示)，为使信号可以覆盖四个村庄，且基站所需发射功率最小(距离越小，所需功率越小)，此基站应建在何处？请说明理由．

23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．

(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．

24．如图，是的半径，且，是半圆上一点，连接，作，过点作半圆的切线，交的延长线于点，切点为，连接．

(1)当∥时，求证：；

(2)当      度时，为菱形．

25．如图，已知以为直径的中，点，在的同侧，点是的中点，连接，过点作于点，于点．

(1)求证：是的切线；

(2)已知，，求的长．

26．如图，在四边形中，，过三点的圆交边于点E．

(1)求证：E是的中点；

(2)若，求证：．

27．如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且．

(1)判断直线和的位置关系，并说明理由．

(2)过点作的切线交直线于点，若，的半径是3，求的正切值．

28．如图，是的直径，点在上(点不与，重合)，直线交过点的切线于点，过点作的切线交于点．

(1)求证：；

(2)若，求的值．

29．如图，中，以为直径的交于点D，．

(1)求证：为的切线；

(2)在上取点E，使，过点E作交于点F．若，求的值．

30．如图，⊙O的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点(点不与点、重合)，连接交、于点、．

(1)当时，的长度为______；

(2)当点为劣弧的中点，且∽时，求的度数；

(3)当，且为直角三角形时，求四边形的面积(直接写出结果)．