专题08 相似形-初升高数学衔接必备教材（解析版）

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专题08 相似形

高中必备知识点1：平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，，另作直线交于点，不难发现
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.


典型考题

【典型例题】
已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．

（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD；
（2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝　 　°时，AB∥CD；
（3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD；
（4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．
【答案】（1）见解析；（2）当∠NCE＝80°时，AB∥CD；（3）当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD；
（4）当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD.
【解析】
（1）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°
∴∠AEG＝60°
∵EG平分∠AEC
∴∠AEG＝∠CEG＝60°
∴∠CEF＝75°
∵∠ECN＝75°
∴∠FEC＝∠ECN
∴EF∥CD且AB∥EF
∴AB∥CD
（2）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°
∴∠AEF＝40°
∵∠FEG＝30°
∴∠AEG＝70°
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG＝70°
∴∠FEC＝100°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠NCE+∠FEC＝180°
∴∠NCE＝80°
∴当∠NCE＝80°时，AB∥CD
（3）∵∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°
∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE
∴当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD
（4）∠1＝∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA＝180°
∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，
∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC＝∠AEG
∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°
∵AB∥CD，AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°
∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°
∴当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD

【变式训练】
已知，如图，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，
求证：FE平分∠BED.

【答案】详见解析
【解析】
∵DC∥FE，∴∠1＝∠3，∠CDE＝∠4，
∵DE∥AC，∴∠2＝∠CDE，
∴∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴EF是∠BED的平分线

【能力提升】
如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．

【答案】DE∥AC．理由见解析.
【解析】
DE∥AC．理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADG=∠FGC=90°，
∴AD∥FG，
∴∠1=∠CAD，
∵∠1=∠2，
∴∠CAD=∠2，
∴DE∥AC．


高中必备知识点2：平行线分线段成比例定理的推论

推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
在中，为的平分线，求证：.

证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，

AD平分
由知

.
上述试题的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

典型考题

【典型例题】
请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中， AD是角平分线．
求证：．

证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴． ①
AD是角平分线，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）
（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；

（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．
【答案】（1）①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理；（2）cm．（3）证明见解析．
【解析】
（1）证明过程中用到的定理有：
①平行线的性质定理；
②等腰三角形的判定定理；
③平行线分线段成比例定理；
（2）∵AD是角平分线，
∴，
又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，
∴，
∴BD=（cm）．
（3）∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面积的比=，
可得：．

【变式训练】
如图，PB和PC是△ABC的两条外角平分线。
①求证：∠BPC=90°-∠BAC．
②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？

【答案】①证明见解析②锐角三角形
【解析】
①证明：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分线，
∴∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°− (∠CBD+∠BCE)=180°− (∠A+∠ACB+∠BCE)=180°− (∠A+180°)=90°−∠A；
②根据①的结论，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故该三角形是锐角三角形。

【能力提升】
在直角三角形△中，的角平分线交于点,交于点,取,连接.
求证：⑴; ⑵.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
⑴. ∵
∴
∴
⑵

证明：作DH⊥AB于H，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠DHB＝90°，
∴CE∥DH，
∴∠1＝∠2，
又∵∠ACB＝90°,AD平分∠BAC,
∴DH＝DC，∠3＝∠4，
∵∠5＝∠6＝90°−∠3，
∠7＝90°－∠4，
∴∠5＝∠7，
∴CD＝CF，
∴DH＝CF，
∵BG＝CD，
∴BG＋GD＝CD＋GD，
即BD＝GC，
在△BHD和△GFC中

∴△BHD≌△GFC，
∴∠BHD＝∠GFC＝90°，
∴∠GFC＝∠BEC＝90°，
∴FG∥AB.

高中必备知识点3：射影定理
我们把下面试题的结论称为射影定理：
如图,在直角三角形ABC中，为直角，.
求证：（1），；
（2）

证明 （1）在与中，，
∽，
同理可证得.
（2）在与中，，
∽，

典型考题

【典型例题】
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，O是△ABC内部的一个动点，△OBD是等腰直角三角形，OB＝BD．
（1）求证：∠AOB＝∠CDB；
（2）若△COD是等腰三角形，∠AOC＝140°，求∠AOB的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）∠AOB的度数为110°或95°或125°．
【解析】
（1）∵△ABC和△OBD是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，OB＝BD，∠ABC＝∠OBD＝90°，
∵∠ABO+∠OBC＝∠CBD+∠OBC，
∴∠ABO＝∠CBD，
在△ABO和△CBD中
，
∴△ABO≌△CBD（SAS），
∴∠AOB＝∠CDB；
（2）设∠AOB的度数为x，则∠CDB＝x，∠CDO＝x﹣45°，
∠COD＝∠COB﹣∠DOB＝360°﹣140°﹣x﹣45°＝175°﹣x，
∠OCD＝180°﹣∠CDO﹣∠COD＝50°，
①当∠CDO＝∠COD时，x﹣45°＝175°﹣x，解得：x＝110°，
②当∠CDO＝∠OCD时，x﹣45°＝50°，解得：x＝95°，
③当∠COD＝∠OCD时，175°﹣x＝50°，解得：x＝125°，
故∠AOB的度数为110°或95°或125°．

【变式训练】
如图所示，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上，若，求的值．

【答案】
【解析】
如图,连结BD

∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC,AC=BC,AC+BC=AB
∴2AC=AB∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD
∴∠ACE=∠BCD.
在△AEC和△BDC中,

∴△AEC≌△BDC(SAS)
∴AE=BD,∠E=∠BDC.
∴∠BDC=45°
∴∠BDC+∠ADC=90°
即∠ADB=90°
∴AD+BD=AB
∴AD+AE-=2AC
又∵
∴AD= 3AE
∴10AE=2AC
∴
故答案是:

【能力提升】
如图，AD⊥BC，垂足为D．如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，
(1)求出AC、AB的长度；
(2)△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．

【答案】(1)AC=，AB=2；(2)△ABC是直角三角形，理由见解析.
【解析】
(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵CD＝1，AD＝2，BD＝4，∴AC＝，AB＝，=2(写成不算错)
(2)∵AC＝，AB＝2，BC＝CD+BD＝5，
∴AC2+AB2＝BC2=25，∴∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形.

专题验收测试题
1．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB=70°，则弧AC的长为（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：连接OB，

∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=70°，
∴∠AOB=40°，
∵OA∥BC，
∴∠OBC=∠AOB=40°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC=40°，
∴∠BOC=100°，
∴∠AOC=100°+40°=140°，
∴弧AC的长=，
故选：C．
2．如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，∠1＝120°，∠2＝50°，则∠3为（　　）

A．70° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【解析】
解：∵a∥b，∠1＝120°，
∴∠ACD＝120°，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝120°﹣50°＝70°，
故选：A．
3．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；
（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条。
其中真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；
平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确；
过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.
故选：B.
4．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】A
【解析】平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A不正确；
在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故B正确；
在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故C正确；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故D正确；
故选：A.
5．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1=36°，则∠2的大小为（　　）

A．34° B．54° C．56° D．66°
【答案】B
【解析】
分析：根据a∥b求出∠3的度数，然后根据平角的定义求出∠2的度数．
详解：∵a∥b， ∴∠3=∠1=36°， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°－36°=54°，故选B．

点睛：本题主要考查的是平行线的性质以及平角的性质，属于基础题型．明白平行线的性质是解决这个问题的关键．
6．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边，则的度数是（ ）

A．14° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【解析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
详解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故选：B．

点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（　　）

A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
【答案】D
【解析】如图
，
作，
，
，
，
故答案为：．
12．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．

【答案】47°
【解析】
首先过点C作CH∥DE交AB于H，即可得CH∥DE∥FG，然后利用两直线平行，同位角相等与余角的性质，即可求得∠β的度数．
解：如图，过点C作CH∥DE交AB于H

根据题意得：∠ACB=90°，DE∥FG，
∴CH∥DE∥FG，
∴∠BCH=∠α=43°，
∴∠HCA=90°-∠BCH=47°，
∴∠β=∠HCA=47°．
考点：平行线的性质
点评：此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
13．如图，四边形ABCD中，点MN分别在AB，AC上，∠C=80°，按如图方式沿着MN折叠，使FN∥CD，此时量得∠FMN=40°，则∠B的度数是_____．

【答案】100°
【解析】
∵FN∥DC，
∴∠BNF=∠C=80°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN=∠FMN=40°，
∠BNM=∠BNF=×80°=40°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（40°+40°）=180°﹣80°=100°．
故答案为：100°．
14．如图，四边形中， ，则____________.

【答案】70°
【解析】∵AD//BC，∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=110°，∴180°-110°＝70°，
故答案为：70°.
15．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是_____．

【答案】75°30′（或75.5°）
【解析】
∵CD∥OB，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠EDO=∠CDA，
∴∠EDO=∠AOB=37°45′，
∴∠DEB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），
故答案为：75°30′（或75.5°）．
16．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB∥CD，∠BAE=87，∠DCE=121，则∠E的度数是______．

【答案】34°
【解析】
分析: 延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=87°，可得∠CFE=87°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．
详解: 如图，延长DC交AE于F，

∵AB∥CD，∠BAE=87°,
∴∠CFE=87°，
又∵∠DCE=121°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=121°-87°=34°，
故答案为：34°.
点睛: 本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等.
17．如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．
（1）求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；
（2）一动点P从A出发（不与A点重合），以个单位/秒的速度沿AB向B点运动，在P点运动过程中，连接MP、OP，请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；
（3）是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．

【答案】（1）（﹣4，﹣4），D（1，2），面积为30；（2）∠MPO=∠AMP+∠PON或∠MPO=∠AMP﹣∠PON；（3）存在，t=10， P点坐标为（﹣4，﹣3）．
【解析】
（1）∵点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），
∴B（﹣4，﹣4），D（1，2），
长方形ABCD的面积=（1+4）×（2+4）=30；
（2）当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，
∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，
∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，即∠MPO=∠AMP+∠PON；

当点P在线段NB上时，作PQ∥AM，如图，
∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，
∴∠QPM-∠QPO=∠AMP-∠PON，即∠MPO=∠AMP-∠PON；

（3）存在，
∵AM=4，AP=t，∴S△AMP=×4×t=t，
∵三角形AMP的面积等于长方形面积的，
∴t=30×=10，∴AP=×10=5，
∵AN=2，∴P点坐标为（﹣4，﹣3）．
18．如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.

【答案】72°
【解析】
∵ AB//CD，∠1=54°，
∴ ∠ABC=∠1=54°，
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠ABD=2∠ABC =2×54°=108°，
∵ AB//CD，
∴ ∠ABD+∠CDB=180°，
∴ ∠CDB=180°-∠ABD=72°，
∵ ∠2=∠CDB，
∴ ∠2=72°.
19．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．

【答案】见解析
【解析】
（1）AD∥EF．
理由如下：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180°
∴∠ADE+∠FEB=180°，∴AD∥EF；
（2）∠F=∠H，理由是：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠EDH=∠C，∴HD∥AC，∴∠H=∠CGH．
∵AD∥EF，∴∠CAD=∠CGH，∴∠BAD=∠F，∴∠H=∠F．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
20．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：AD∥BE．

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】123由∠1=∠2，得BD∥CE，所以∠4=∠E，又∠3=∠E，所以∠3=∠4，可得AD∥BE.
【详解】证明：∵∠1=∠2，
又∵∠3=∠E，
∴BD∥CE，
∴∠3=∠4，
∴∠4=∠E，
∴AD∥BE.
21．如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求证：∠BDC＋∠DGF＝180°．

【答案】见解析
【解析】
若证∠BDC+∠DGF=180°，则可证GF、CD两直线平行，利用图形结合已知条件能证明．
试题解析：解：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2=∠DCF．
∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCF，∴CD∥FG，∴∠BDC+∠DGF=180°．
22．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=∠EOC
（1）求∠AOE的度数；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；
②若∠AOF=120°时，直接写出的度数.

【答案】（1）∠AOE=30°（2）①∠DOF=150° ②
【解析】（1）根据对顶角相等求出∠BAOC的度数，设∠AOE=2x，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）①根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可；
②根据∠AOF=120°画出图形，根据角的和与差即可求解．
解：（1）∵∠AOE=∠EOC，
∴设∠AOE=2x，则∠EOC=3x，
∴∠AOC=5x，
∵∠AOC=∠BOD=75°，
∴5x=75°，
解得：x=15°，
则2x=30°，
∴∠AOE=30°；
（2）①∵∠AOE=30°，
∴∠BOE=180°−∠AOE=150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF=75°，
∵∠BOD=75°，
∴∠DOF=150°，
②有两种情况：
当射线OE绕点O逆时针旋转到OF1时，
＝120°－30°＝90°，
当射线OE绕点O逆时针旋转到OF2时，
＝360°－120°－30°＝210°，
故答案为：