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八年级人教版数学下册同步讲义 第十讲 变量与函数
展开这是一份八年级人教版数学下册同步讲义 第十讲 变量与函数,共10页。
第十讲 变量与函数
【知识梳理】
(一)变量与常量的概念
| 定义 |
变量 | 在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。 |
常量 | 数值始终不变的量叫做常量。 |
点拨:(1)常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,换句话说,这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现;
(2)判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的数值是否发生变化;
(3)常数也叫常量,如S=πr2,其中常量是π。
(二)函数
1.定义:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
2.函数值:y是x的函数,如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
3.函数解析式与自变量的取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
注意:确定自变量的取值范围时,不仅要考虑使函数关系式有意义,而且还要注意问题的实际意义.
(三) 函数的图像
对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
2.函数的几种表达方式:
变量间的单值对应关系有多种表示方法,常见的有以下三种:
(1)解析式法:用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称函数的解析式.
(2)列表法:函数关系用一个表格表达出来的方法.
(3)图象法:用图象表达两个变量之间的关系.
【经典例题】
【题型一、变量与函数】
【例1】如图所示,下列各曲线中表示是的函数的有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例2】下列等式中,是的函数有( )
A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个
【题型二、函数解析式】
【例1】求出下列函数中自变量的取值范围
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【例2】若与的关系式为,当=时,的值为( )
A.5 B.10 C.4 D.-4
【例3】如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=10,设P为BC上任一点,点P不与点B、C重合,且CP=.若表示△APB的面积.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)求自变量的取值范围.
【题型三、函数图像】
【例1】 星期天,玲玲骑自行车到郊外游玩,她离家的距离与时间的关系如图所示,请根据图象回答下列问题.
(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?
(2)她何时开始第一次休息?休息了多长时间?
(3)她骑车速度最快是在什么时候?车速多少?
(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少?
【当堂检测】
1.如图,表示是的函数图象是( )
- B. C. D.
2.下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S=πR²中,有关常量和变量的说法正确的是( )
A.S,R²是变量,π是常量 B.S,R是变量,2是常量
C.S,R是变量,π是常量 D.S,R是变量,π和2是常量
3.某天小明骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后继续骑行,按时赶到了学校. 下图描述了他上学的情景,下列说法中错误的是( )
A.修车时间为15分钟 B.学校离家的距离为2000米
C.到达学校时共用时间20分钟 D.自行车发生故障时离家距离为1000米
4.如图,某游客为爬上3千米的山顶看日出,先用1小时爬了2千米,休息0.5小时后,再用1小时爬上山顶,游客爬山所用时间(小时)与山高(千米)间的函数关系用图象表示是( )
- 某工厂有一种产品现在的年产量是20万件,计划今后两年增加产量,如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,那么y与x之间的关系应表示为 .
6.甲、乙两人在一次赛跑中,路程与时间的关系如图所示,那么可以知道:①这是一次 米赛跑;②甲、乙两人先到达终点的是 ;③在这次赛跑中甲的速度为 ,乙的速度为 .
7. 一个函数的解析式,其中是的函数,为任意实数.
(1)若点A(-3,4)在这个函数的图像上,求实数;
(2)在(1)的条件上,判断点B(-4,7)是否在它的图像上.
8. 如图所示,正方形ABCD的边长为4 ,E、F分别是BC、DC边上一动点,E、F同时从点C均以1 的速度分别向点B、点D运动,当点E与点B重合时,运动停止.设运动时间为(),运动过程中△AEF的面积为,请写出用表示的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
【课后练习】
1.函数y=+中自变量x的取值范围是( )
A.x≤2 B.x≤2且x≠1 C.x<2且x≠1 D.x≠1
2.矩形的周长为18,则它的面积S()与它的一边长()之间的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
3.汽车开始行驶时,油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱内余油量y(升)与行驶时间t(时)的函数关系用图象表示应为下图中的( )
4.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度,仍保持匀速行进,如果准时到校.在课堂上,李老师请学生画出他行进的路程y(千米)与行进时间t(小时)的函数图象的示意图,同学们画出的图象如图所示,你认为正确的是( )
5.已知等腰三角形的周长为60,底边长为,腰长为,则与之间的关系式及自变量的取值范围为_______.
6. 如图所示,表示的是某航空公司托运行李的费用(元)与托运行李的质量(千克)的关系,由图中可知行李的质量只要不超过_________千克,就可以免费托运.
7.如图,在靠墙(墙长为18m)的地方围建一个矩形的养鸡场,另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆总长为35m,
(1)鸡场的长y(m)与宽x(m)的函数关系式
(2)并求自变量的取值范围为多少?
8.张爷爷晚饭以后外出散步,碰到老邻居交谈一会儿,返回途中在读报栏前看了一会儿报.如图所示是据此情境画出的图象,请你回答下面的问题.
(1)张爷爷是在什么地方碰到老邻居的?交谈了多长时间?
(2)该读报栏大约离家多少路程?
(3)张爷爷在哪一段路程走得最快?
(4)图象反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗?