八年级人教版数学下册同步讲义 第八讲 特殊的平行四边形

第八讲 特殊平行四边形【知识梳理】（一）特殊平行四边形的定义⒈矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。3.正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。4.特殊平行四边形的性质与判定5.正方形、菱形、矩形、平行四边形的关系如下图：（二）直角三角形斜边上中线的性质 点拨：（1）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形面积相等。此性质常与“直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半”结合考查。直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题是真命题，即如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（三）菱形的面积1.菱形的面积=底×高；2.若a、b分别表示菱形的两条对角线长，则S菱形=ab.点拨：对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来表示。解题时，根据已知条件选择利用哪一个公式求解。【经典例题】【题型一、特殊四边形的性质应用】【例1】如图，将一个长为8，宽为4的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是多少？【例2】如图，菱形ABCD的周长为40cm，AC、BD相交于点O，且BD：AC=3:4，求AC、BD的长及菱形ABCD的面积。【例3】已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．(1)求证：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长．【题型二、直角三角形斜边上的中线的性质】【例1】如图，BE、CF是△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，M、N分别是BC、EF的中点，判断EF与MN的位置关系。 【题型三、特殊平行四边形的判定】【例1】如图，AB//DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°。求证：四边形BCEF是矩形。【例2】已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF//AB，分别交AC、BC于点E、F，作PM//AC交AB于点M，连接ME，求证：四边形AEPM为菱形。【当堂检测】下列关于矩形的说法中正确的是（　　）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分2、下列命题中，正确的是（ 　 ） A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形3、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） B. C. D. 图3 图4 图54、如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为（ ）A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.平行四边形如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD相交于点0，E是CD的中点，则OE的长是________.6、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则____s后，四边形ABPQ第一次成为矩形。7、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。求证：OE=OF；若BC=,求AB的长。8、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.9、已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．【课后练习】下列命题中不正确的是（　　）A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 B.矩形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直 D.矩形是轴对称图形下列说法中，错误的是（ 　 ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（ ）A.1 B. C.2 D. 图4 图5 图65、如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG=AB；②图中与△EGD全等的三角形共有5个；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF=S△ABF，其中正确的结论是（ ）A.①③ B.①③④ C.①②③ D.②③④6、如图，已知E、F、G、H分别诶菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为_______cm²。7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P’。设点Q的运动时间为t秒，当四边形QPBP’为菱形时，t的值为_______.8、如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCED是矩形．9、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF。求证：四边形BCEF是菱形；若CE=6,∠BEF=120°，求菱形BCEF的面积。矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定①有三个角是直角;②平行四边形且有一个角是直角;③是平行四是边形且两条对角线相等.①四边相等的四边形；②是平行四边形且有一组邻边相等；③是平行四边形且两条对角线互相垂直。①是矩形，且有一组邻边相等；②是矩形，对角线互相垂直；③是菱形，且有一个角是直角；④是菱形，对角线相等。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形文字语言直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半数学语言如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=AD=BD=AB