第九讲  特殊四边形的判定

【知识梳理】

（一）特殊平行四边形的定义

⒈矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

3.正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

4.特殊平行四边形的性质与判定

5.正方形、菱形、矩形、平行四边形的关系如下图：

（二）直角三角形斜边上中线的性质

           点拨：（1）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形面积相等。

（2）此性质常与“直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半”结合考查。

（3）直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题是真命题，即如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（三）菱形的面积

1.菱形的面积=底×高；

2.若a、b分别表示菱形的两条对角线长，则S菱形=ab.

点拨：对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来表示。解题时，根据已知条件选择利用哪一个公式求解。

【经典例题】

【题型一、正方形的性质应用】

【例1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．

求证：AM⊥DF．

【题型二、正方形的判定】

【例1】如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N。

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。

【题型三、特殊四边形的综合应用】

【例1】已知：∠1=∠2，∠3=∠4，过点P作PD//BC交直线AB于点D，交直线AC于点H，PK//AC交直线BC于点K，请你解答下列问题：

（1）如图1，求证：BD=DH-PK；

（2）如图2、3，BD、DH、PK又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需要证明；

（3）在（1）（2）的条件下，若DB=10，CH=4，求DH的长。

【当堂检测】

1、如图，从下列四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是（  ）

A.①②     B.②③     C.①③     D.②④

图1                        图2

2、如图，在△ABC中，AB=3,AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点，则AM的最小值为（  ）

A.     B.     C.     D.

3、如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为________.

      图3                             图4

4、如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________.

5、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG//BC，交DE于点G，连接AF、CG。

（1）求证：AF=BF；（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形。

7、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；

（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．

8、四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG。

（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；

（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数。

【课后练习】

1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ）

A. 四条边相等             B. 对角线互相垂直平分

C. 对角线平分一组对角     D. 对角线相等

2、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（    ）

A.          B.          C. 2         D.

3、已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（　　）

        A. B. C. D.

4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为_________.

5、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为      ．

6、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．

（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；

（2）若DG=6，求△FCG的面积．

7、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．

(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．

(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．

8、如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

（1）请猜想OE与OF的大小关系，并说明你的理由；

（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?写出推理过程；

（3）点O运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？说明理由。