2023年高考数学(理数)一轮复习课时64《不等式选讲》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时64《不等式选讲》达标练习1.设函数f(x)=|2x＋3|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)＞4；(2)若∀x∈(-∞,－ )，不等式a＋1＜f(x)恒成立，求实数a的取值范围.【答案解析】解：(1)∵f(x)=|2x＋3|＋|x－1|，∴f(x)=f(x)＞4⇔或或⇔x＜－2或0＜x≤1或x＞1.∴不等式f(x)＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).(2)由(1)知，当x＜－时，f(x)=－3x－2，∵当x＜－ 时，f(x)=－3x－2＞，∴a＋1≤，即a≤.∴实数a的取值范围为(-∞,].2.选修4­5：不等式选讲设函数f(x)=|x－a|，a∈R.(1)若a=1，解不等式f(x)≥(x＋1)；(2)记函数g(x)=f(x)－|x－2|的值域为A，若A⊆[－1，3]，求a的取值范围.【答案解析】解：(1)由于a=1，故f(x)=当x<1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤；当x≥1时，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为(-∞,]∪[3，＋∞).(2)当a<2时，g(x)=g(x)的值域A=[a－2，2－a]，由A⊆[－1，3]，得解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；当a≥2时，g(x)=2<x<a，g(x)的值域A=[2－a，a－2]，由A⊆[－1，3]，得解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.综上，a的取值范围为[1，3].3.已知函数f(x)=|2x－a|＋|2x＋1|.(1)当a=1时，求f(x)≤2的解集；(2)若g(x)=4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.【答案解析】解：(1)当a=1时，f(x)=.当x<－时，f(x)≤2无解；当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}；当x>时，f(x)≤2无解.综上所述，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}.(2)当x∈时，f(x)=(a－2x)＋(2x＋1)=a＋1，所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x).又g(x)=4x2＋ax－3在上的最大值必为g、g之一，则，即，即－≤a≤2.又a>－1，所以－1<a≤2，所以a的取值范围为(－1,2].4.已知函数f(x)=|x－1|＋|x＋a|.(1)当a=3时，解关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|＞6；(2)若函数g(x)=f(x)－|3＋a|存在零点，求实数a的取值范围.【答案解析】解：(1)当a=3时，不等式为|x－1|＋|x＋3|＞6，即或或解得x＜－4或x＞2，所以所求不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞).(2)函数g(x)=f(x)－|3＋a|存在零点等价于关于x的方程|x－1|＋|x＋a|=|3＋a|有解.因为|x－1|＋|x＋a|≥|x－1－(x＋a)|=|a＋1|，所以|3＋a|≥|a＋1|，即|3＋a|2≥|a＋1|2，解得a≥－2，所以实数a的取值范围是[－2，＋∞).5. [选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)=|2x－1|.(1)求不等式f(x)＋|x＋1|＜2的解集；(2)若函数g(x)=f(x)＋f(x－1)的最小值为a，且m＋n=a(m＞0，n＞0)，求＋的最小值．【答案解析】解：(1)f(x)＋|x＋1|=|2x－1|＋|x＋1|=当x≤－1时，－3x＜2，得x＞－，无解；当－1＜x＜时，－x＋2＜2，得x＞0，即0＜x＜；当x≥时，3x＜2，得x＜，即≤x＜.综上，不等式的解集为.(2)由条件得g(x)=|2x－1|＋|2x－3|≥|(2x－1)－(2x－3)|=2，当且仅当x∈时，其最小值a=2，即m＋n=2.又＋=(m＋n)=≥=，所以＋的最小值为，当且仅当m=，n=时等号成立．6.【选修4-5：不等式选讲】已知函数f(x)=|x-2a|-|x+1|．（1）当a=1时，求不等式f(x)≥1的解集；（2）若f(x)-a-2≤0恒成立，求实数a的取值范围．【答案解析】解：（1）当a=1时，，∵，∴或，∴或，∴，∴不等式的解集为．（2）∵，∴，∵恒成立等价于，∴，所以，∴，∴a的取值范围为[-1,1]．7.已知函数f(x)=|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m=2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.【答案解析】解：(1)f(x)=|x－2m|－|x＋m|=当m=2时，由－2x＋2≥1得－2<x≤，又当x≤－2时，f(x)≥1恒成立，所以不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤}.(2)不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)≤(|t＋3|＋|t－2|)min恒成立，即f(x)max≤(|t＋3|＋|t－2|)min，∵f(x)=|x－2m|－|x＋m|≤|(x＋m)－(x－2m)|=3m，|t＋3|＋|t－2|≥|(t＋3)－(t－2)|=5，∴3m≤5，又m>0，∴0<m≤.8.设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．【答案解析】【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．当且仅当+，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．