2023年高考数学(理数)一轮复习课时60《离散型随机变量期望与方差、正态分布》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时60《离散型随机变量期望与方差、正态分布》达标练习一 、选择题1.据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X(单位：万)服从正态分布X～N(6,0.82)，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P(|X－μ|<σ)=0.682 6，P(|X－μ|<2σ)=0.954 4，P(|X－μ|<3σ)=0.997 4)(　　)A.0.682 6         B.0.954 4       C.0.997 4         D.0.341 32.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=0.954 4.A.1 193         B.1 359      C.2 718         D.3 4133.设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时，(　　)A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小甲、4.乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，乙、其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是(　 　)A.甲类水果的平均质量为0.4 kgB.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.995.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　　)A.（0，）     B.（0，）       C.（，1）      D.（，1）6.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm范围内的校服大约要定制(　　)A.683套        B.954套         C.972套       D.997套7.随机变量X的分布列如下表，且E(X)=2，则D(2X－3)=(　 　)A.2         B.3         C.4         D.58.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)=0.158 7，则P(2＜X＜4)=(　　)A.0.682 6          B.0.341 3    C.0.460 3          D.0.920 79.设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)=P(ξ>a＋1)，则实数a等于(　　)A.7         B.6         C.5         D.410.设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(　　)(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)=68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)=95.44%)A.7 539       B.6 038          C.7 028       D.6 58711.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则＋的最小值为(　　)A.       B.         C.        D.12.已知0<a<，随机变量ξ的分布列如下：当a增大时，(　 　)A.E(ξ)增大，D(ξ)增大         B.E(ξ)减小，D(ξ)增大C.E(ξ)增大，D(ξ)减小         D.E(ξ)减小，D(ξ)减小二 、填空题13.某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人.14.口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为       .15.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为      .16.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=，其中A的各位数字中，a1=1，ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.若启动一次出现的数字为A=10101，则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得－1分，则100次重复试验的总得分X的方差为         .
0.答案解析1.答案为：D解析：因为μ=6，σ=0.8，所以P(6<X<6.8)===0.341 3.故选D.2.答案为：B；解析：对于正态分布N(－1,1)，可知μ=－1，σ=1，正态曲线关于直线x=－1对称，故题图中阴影部分的面积为×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]=×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]=×(0.954 4－0.682 6)=0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P==0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9=1 359.故选B.3.答案为：D；解析：由题意知E(ξ)=0×＋1×＋2×=p＋，D(ξ)=2×＋2×＋2×=2×＋2×＋2×=－p2＋p＋=－2＋，∴D(ξ)在上递增，在上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.4.答案为：D.解析：由图象可知甲的正态曲线关于直线x=0.4对称，乙的正态曲线关于直线x=0.8对称，所以μ1=0.4，μ2=0.8，故A正确，C正确.由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B正确.因为乙的正态曲线的最大值为1.99，即=1.99，所以σ2≠1.99，故D错误，于是选D.5.答案为：B解析：根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p，发球二次的概率P(X＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义，可得0<p<，即p∈（0，）.故选B.6.答案为：B解析：P(155<ξ<175)＝P(165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套.故选B.7.答案为：C.解析：p=1－－=，E(X)=0×＋2×＋a×=2，得a=3，∴D(X)=(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×=1，∴D(2X－3)=4.8.答案为：A；解析：∵随机变量X服从正态分布N(3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x=3，∵P(X≥4)=0.158 7，∴P(2＜X＜4)=1－2P(X≥4)=1－0.317 4=0.682 6.故选A.9.答案为：B解析：由随机变量ξ服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x=4，又P(ξ<a－5)=P(ξ>a＋1)，∴x=a－5与x=a＋1关于直线x=4对称，∴(a－5)＋(a＋1)=8，即a=6.故选B.10.答案为：D；解析：∵X～N(1,1)，∴μ=1，σ=1.∵P(μ－σ<X<μ＋σ)=68.26%，∴P(0<X<2)=68.26%，则P(1<X<2)=34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.341 3=0.658 7.∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7=6 587.故选D.11.答案为：D解析：由数学期望的定义可知3a＋2b＝2，所以＋＝(3a＋2b)·(＋)＝(6＋＋＋)≥(6＋＋4)＝，当且仅当＝即a＝，b＝时取得等号.故选D.12.答案为：B.解析：由题意得，E(ξ)=－a＋，D(ξ)=2×a＋2×－a＋2×=－a2＋2a＋，∵0<a<，∴当a增大时，E(ξ)减小，D(ξ)增大，故选B.二 、填空题13.答案为：100解析：∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x＝100对称.显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120).又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝，∴P(ξ≥120)＝×＝.∴成绩不低于120分的学生约为600×＝100人.14.答案为：；解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)==，P(AB)=×=，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)===.15.答案为：1.解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=4)==，所以E(ξ)=0×＋1×＋2×＋4×=1.16.答案为：.解析：启动一次出现数字为A=10101的概率P=2×2=，由题意知变量服从二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有η～B，∴η的数学方差为D(η)=100××=.设得分为X=2η－1×(100－η)=3η－100，所以D(X)=D(3η－100)=9D(η)=.