2023年高考数学(理数)一轮复习课时63《参数方程》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时63《参数方程》达标练习1.在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A，B.(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ是参数).若圆C1与圆C2外切，求实数a的值.     2.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α∈[0，π)).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sin θ.(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值.              3.已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ，直线l与圆C交于A，B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值.              4.在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0，其中0≤α＜π).在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.      5.在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.       6.已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值.     7.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.            8.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.(1)求θ的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值.               
0.答案解析1.解：(1)O(0,0)，A，B 对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y=0，将代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ=2cos .(2)圆C2：(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2=a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，而圆C1的圆心为(1,1)，半径为，所以当圆C1与圆C2外切时，有＋|a|=，解得a=±. 2.解：(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ=4sin θ化为直角坐标方程，得x2=4y.∵M(x，y)为曲线C上任意一点，∴x＋y=x＋x2=(x＋2)2－1，∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞).(2)将代入x2=4y，得t2cos2 α－4tsin α－4=0.∴Δ=16sin2α＋16cos2α=16>0，设方程t2cos2α－4tsin α－4=0的两个根为t1，t2，则t1＋t2=，t1t2=，∴|AB|=|t1－t2|==≥4，当且仅当α=0时，取等号.故当α=0时，|AB|取得最小值4. 3.解：(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ，所以x2＋y2－4x=0，所以圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2=4.设A，B对应的参数分别为t1，t2.将直线l的参数方程代入圆C：(x－2)2＋y2=4，并整理得t2＋2t=0，解得t1=0，t2=－2.所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t1－t2|=2.(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－4=0.圆C的参数方程为(θ为参数)，可设圆C上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)，则点P到直线l的距离d==，当cos=－1时，d取得最大值，且d的最大值为2＋.所以S△ABP=×2×(2＋)=2＋2，即△ABP的面积的最大值为2＋2. 4.解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α).所以|AB|=|2sin α－2cos α|=4|sin(α-)|.当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4. 5.解：(1)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的直角坐标方程为x2＋y2=2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cosα)t＋3=0，由Δ=(4cosα)2－4×3>0，得cos2α>，由根与系数的关系，得t1＋t2=－4cosα，t1·t2=3，由参数的几何意义知，|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，|PQ|=|t1－t2|，由题意知，(t1－t2)2=t1·t2，则(t1＋t2)2=5t1·t2，得(－4cosα)2=5×3，解得cos2α=，满足cos2α>，所以sin2α=，tan2α=，所以直线l的斜率k=tanα=±. 6.解：(1)因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，所以曲线C的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，所以(x－2)2＋y2＝4.(2)将代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4得：(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则所以|AB|＝|t1－t2|＝＝，因为|AB|＝，所以＝.所以cos α＝±.因为α∈[0，π)，所以α＝或α＝π.所以直线的倾斜角α＝或α＝π. 7.解：(1)C1的普通方程为＋y2=1.C2的直角坐标方程为x＋y－4=0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)==.当且仅当α=2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为. 8.解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2=4，∵x=ρcos θ，y=ρsin θ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2=4，即ρ=4sin θ.由ρ=2，得sin θ=，∵θ∈，∴θ=.(2)易知直线l的普通方程为x＋y－4=0，∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4=0.又射线OA的极坐标方程为θ=(ρ≥0)，联立解得ρ=4.∴点B的极坐标为，∴|AB|=|ρB－ρA|=4－2=2.