2023年高考数学(理数)一轮复习课时62《坐标系》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时62《坐标系》达标练习1.圆心C的极坐标为（2，），且圆C经过极点.(1)求圆C的极坐标方程.(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.【答案解析】解：(1)圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2=r2，依题意可知r2=(0－)2＋(0－)2=4，故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2=4，化为极坐标方程为ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)=0，即ρ=2(sin θ＋cos θ).(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2(x＋y)=0中，令y=0，得x2－2x=0，解得x=0或2，于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0)，(2，0)，由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0=(x－2)，即x＋y－2=0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－2=0.2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x=4.曲线C的参数方程是(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)若射线θ=α与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围.【答案解析】解：(1)由ρcos θ=x，得直线l的极坐标方程为ρcos θ=4.曲线C的参数方程为(φ为参数)，消去参数φ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2=2，即x2＋y2－2x－2y=0，将x2＋y2=ρ2，x=ρcos θ，y=ρsin θ代入上式得ρ2=2ρcos θ＋2ρsin θ，所以曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ＋2sin θ.(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则ρ1=2cos α＋2sin α，ρ2=，所以====(sin 2α＋cos 2α)＋=sin＋，因为0<α<，所以<2α＋<，所以<sin≤1，所以<sin＋≤.故的取值范围是.3.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).【答案解析】解：(1)将，消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2=25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16=0.将，代入x2＋y2－8x－10y＋16=0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16=0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y=0.由解得，或所以C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）.4.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值.【答案解析】解：(1)∵C1的参数方程为∴C1的普通方程为＋y2=1.由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos θ(a为半径)，将D代入，得2=2a×，∴a=2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2=4.(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ=1，即ρ2=.∴ρ=，ρ==.∴＋=＋=.5.在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0), 其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.【答案解析】解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程x2＋y2－2x＝0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和（，）.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2 cos α，α).所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4|sin（α-）|.当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.6.在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos(θ- )＝，C与l有且仅有一个公共点.(1)求a；(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值.【答案解析】解：(1)曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，变形ρ2＝2aρcosθ，化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.∴曲线C是以(a,0)为圆心，a为半径的圆.由l：ρcos(θ- )＝，展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.由题可知直线l与圆C相切，即＝a，解得a＝1.(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos(θ- )＝3cosθ－sinθ＝2cos(θ- )，当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.7.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin（ +θ）=1，圆C的圆心的极坐标是C（1，），圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长.【答案解析】解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD=－θ或∠AOD=θ－，|OA|=|OD|cos（－θ）或|OA|=|OD|cos（θ－）.所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ－）.(2)由ρsin（θ+）=1，得ρ(sin θ＋cos θ)=1，∴直线l的直角坐标方程为x＋y－=0，又圆心C的直角坐标为（，）满足直线l的方程，∴直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为2.8.已知圆C：x2＋y2=4，直线l：x＋y=2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程.【答案解析】解：(1)将x=ρcos θ，y=ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ=2，l：ρ(cos θ＋sin θ)=2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|=|OR|2，得ρρ1=ρ.又ρ2=2，ρ1=，所以=4，故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0).