备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（七十三） 参数方程

这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（七十三） 参数方程，共4页。
课时验收评价（七十三） 参数方程1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcos θ－2ρsin θ＋m＝0.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点P(－m,0)，直线l与曲线C交于A，B(均异于点P)两点，若|PA|·|PB|＝5，求m的值．解：(1)由(α为参数)，得(x－1)2＋y2＝4，故曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4，由ρcos θ－2ρsin θ＋m＝0，得x－2y＋m＝0，故直线l的直角坐标方程为x－2y＋m＝0.(2)由题意可知直线l的参数方程为(t为参数)，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得5t2－4(m＋1)t＋5(m2＋2m－3)＝0，设|PA|，|PB|对应的参数分别是t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝m2＋2m－3，因为|PA|·|PB|＝5，所以|m2＋2m－3|＝5，解得m＝－4或m＝2.2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)判断直线l和圆C的位置关系，并说明理由；(2)设P是圆C上一动点，A(4,0)，若点P到直线l的距离为，求·的值．解：(1)圆C的参数方程为(θ为参数)，消参得圆C的普通方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心C坐标为(3,0)，半径为3.直线l的参数方程为(t为参数)，消参得直线l的普通方程为x－y＋6＝0.∵圆心C到直线l的距离d＝>3，∴直线l和圆C相离．(2)设P(3＋3cos θ，3sin θ)(θ∈[0,2π))，由点P到直线l的距离＝，∴＝，则cos＝－1.∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，又θ∈[0,2π)，则θ＝，∴P，＝(1,0)，＝，∴·＝－.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．解：(1)由得又sin2α＋cos2α＝1，所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝1.由ρ2＝得ρ2＋3(ρsin θ)2＝4.因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，所以曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.(2)因为点P在曲线C2：＋y2＝1上，所以可设点P的坐标为(2cos φ，sin φ)．因为曲线C1的方程为x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为C1(0,2)，半径r＝1.所以|PA|＝＝＝ ，当sin φ＝－时，|PA|有最大值.所以|PA|的最大值为.4．(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程．(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．解：(1)由⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1，得⊙C的一个参数方程为(α为参数)．(2)易知两条切线的斜率均存在．设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0.由点到直线的距离公式，得＝1，∴3k2＝1，∴k＝±.∴切线l1的直角坐标方程为y＝(x－4)＋1，切线l2的直角坐标方程为y＝－(x－4)＋1.由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得切线l1的极坐标方程为ρcos θ－3ρsin θ－4＋3＝0，切线l2的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－4－3＝0.5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是ρcos＝.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若点A的坐标为(1,0)，直线l与曲线C交于P，Q两点，求＋的值．解：(1)由可得将上式分别平方，然后相加可得(x－1)2＋(y－2)2＝10.由ρcos＝，可得ρ＝，即ρcos θ－ρsin θ＝，即x－y－1＝0.(2)由(1)可知直线l的斜率为，则其倾斜角为，且点A(1,0)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得t2－2t－6＝0.设|AP|，|AQ|对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2，t1t2＝－6，则＋＝＋＝＝＝＝＝.6．(2023·济南模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6cos θ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．解：(1)由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(sin α－cos α)t－7＝0.由Δ＝4(sin α－cos α)2＋4×7>0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以t1＋t2＝2(cos α－sin α)，t1t2＝－7，又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝ ＝ ≥2，当sin 2α＝1时取等号．所以|PA|＋|PB|的最小值为2.7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为. 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos＋ρcos θ－1＝0(m∈R)．(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围．解：(1)由ρcos＋ρcos θ－1＝0得，mρcos θ＋ρsin θ－1＝0，又所以l的直角坐标方程为mx＋y－1＝0，即2mx＋y－2＝0.(2)由曲线C的参数方程t为参数，－<t<，消去t得，x2－4y2＝1(x≥1)．联立得(1－16m2)x2＋32mx－17＝0，(*)由双曲线的右支与直线有两个交点，则保证方程(*)有两个正根即可，设两个根分别为x1，x2，由题意可得Δ＝(32m)2＋4×17(1－16m2)>0，x1＋x2＝－>0，x1x2＝－>0，解得<m<，故实数m的取值范围为.