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    高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习37《离散型随机变量的分布列、期望、方差》 (教师版)
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    高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习37《离散型随机变量的分布列、期望、方差》 (教师版)

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    这是一份高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习37《离散型随机变量的分布列、期望、方差》 (教师版),共10页。试卷主要包含了选择题,非选择题等内容,欢迎下载使用。

    刷题增分练 37 离散型随机变量的分布列、期望、方差

     

    刷题增分练      小题基础练提分快

    一、选择题

    1.随机变量X的分布列为P(X=k)=,c为常数,k=1,2,3,4,则P的值为(  )

    A.    B.        C.       D.

    答案:B

    解析:由已知,=1,解得c=

    P=P(X=1)+P(X=2)=.

    2.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,用ξ表示取出的球的最小号码,则E(ξ)=(  )

    A.0.45  B.0.5

    C.0.55  D.0.6

    答案:B

    解析:ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=E(ξ)=0×+1×+2×.

    3.已知ξ~B,并且η=2ξ+3,则方差D(η)=(  )

    A.  B.

    C.  D.

    答案:A

    解析:由题意知,D(ξ)=4××

    ∵η=2ξ+3,D(η)=4D(ξ)=4×.

    4.已知随机变量ξ的分布列为

    ξ

    -1

    0

    1

    2

    P

    x

    y

    若E(ξ)=,则D(ξ)=(  )

    A.1    B.        C.      D.2

    答案:B

    解析:E(ξ)=由随机变量ξ的分布列知,

    则D(ξ)=2×2×2×2×.

    5.已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E(ξ)=(  )

    A.3      B.          C.      D.4

    答案:C

    解析:由题意知ξ的可能取值为2,3,4,P(ξ=2)=×,P(ξ=3)=×,P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1-E(ξ)=2×+3×+4×.故选C.

    6.设袋中有两个红球一个黑球,除颜色不同,其他均相同,现有放回地抽取,每次抽取一个,记下颜色后放回袋中,连续摸三次,X表示三次中红球被摸中的次数,每个小球被抽取的几率相同,每次抽取相对独立,则方差D(X)=(  )

    A.2     B.1

    C.      D.

    答案:C

    解析:每次取球时,取到红球的概率为、黑球的概率为,所以取出红球的概率服从二项分布,即X~B,所以D(X)=3××,故选C.

    7.某篮球队对队员进行考核,规则是:每人进行3个轮次的投篮;每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(  )

    A.3     B.       C.2     D.

    答案:B

    解析:每个轮次甲不能通过的概率为×,通过的概率为1-,因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B,所以X的数学期望为3×.

    8.已知0<a<,随机变量ξ的分布列如下:

    ξ

    -2

    0

    2

    P

    a

    -a

    当a增大时,则(  )

    A.E(ξ)增大,D(ξ)增大  B.E(ξ)减小,D(ξ)增大

    C.E(ξ)增大,D(ξ)减小  D.E(ξ)减小,D(ξ)减小

    答案:B

    解析:由题意知,E(ξ)=-2×a+0×+2×=1-2a,D(ξ)=(2a-3)2×a+(2a-1)2×+(1+2a)2×=-4a2+8a+1=-4(a-1)2+5.因为0<a<,所以当a增大时,E(ξ)减小,D(ξ)增大. 故选B.

    二、非选择题

    9.给出下列四个随机变量:高速公路上某收费站一小时内经过的车辆数X1一个沿直线y=x进行随机运动的质点,它在该直线上的位置X2某城市在一天内发生的火警次数X3某市一天内的气温X4.

    其中是离散型随机变量的是________(写出所有满足条件的序号).

    答案:①③

    解析:中经过的车辆数和中火警次数都能列举出来,而②④中的随机变量的取值都不能一一列举出来,所以①③中的随机变量是离散型随机变量.

    10.设ξ是离散型随机变量, P(ξ=x1)=,P(ξ=x2)=,且x1<x2,若E(ξ)=,D(ξ)=,则x1+x2的值为________.

    答案:3

    解析:E(ξ)=,D(ξ)=,P(ξ=x1)=,P(ξ=x2)=×x1×x2 2×2× ,由①②可得x1=1,x2=2,则x1+x2=3.

    11.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,其中k=1,2,3,4,5,6,则a=________,E(ξ)=________.

    答案: 

    解析:根据题意可知P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=,P(ξ=6)==1,a=,E(ξ)=6a=.

    12.随机掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数为m,已知向量=(m,1),=(2-m,-4),设X=·,则X的数学期望 E(X)=________.

    答案:4

    解析:=(2,-3),X=·=2m-3,X的分布列为

    X

    -1

    1

    3

    5

    7

    9

    P

    E(X)=×(-1+1+3+5+7+9)=4.

     

    刷题课时增分练      综合提能力 课时练 赢高分

    一、选择题

    1.设随机变量X等可能取值1,2,3,,n,如果P(X<4)=0.3,那么(  )

    A.n=6   B.n=4

    C.n=10  D.n=9

    答案:C

    解析:由题意知,P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3,故n=10.

    2.已知袋中有3个白球,2个红球,现从中随机取出3个球,其中每个白球计1分,每个红球计2分,记X为取出3个球的总分值,则E(X)=(  )

    A.      B.

    C.4      D.

    答案:B

    解析:由题意知,X的所有可能取值为3,4,5,且P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以E(X)=3×+4×+5×.

    3.[2019·浙江嘉兴一中质检]随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=(  )

    X

    0

    2

    a

    P

    p

    A.2     B.3

    C.4    D.5

    答案:C

    解析:p=1-,E(X)=0×+2×+a×=2a=3,

    所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,所以D(2X-3)=22D(X)=4,故选C.

    4.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为(  )

    A.3 200元  B.3 400元

    C.3 500元  D.3 600元

    答案:C

    解析:通解 设被检测机器的台数为X,则X的所有可能取值为2,3,4.因为P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以E(X)=2×+3×+4×,所以所需检测费的均值为1 000×=3 500(元),故选C.

    优解 设所需检测费为Y元,则Y的所有可能取值为2 000,3 000,4 000.因为P(Y=2 000)=,P(Y=3 000)=,P(Y=4 000)=,所以所需检测费的均值E(Y)=2 000×+3 000×+4 000×=3 500(元),故选C.

    5.若随机变量ξ的分布列如表所示,E(ξ)=1.6,则a-b=(  )

    ξ

    0

    1

    2

    3

    P

    0.1

    a

    b

    0.1

    A.0.2      B.-0.2

    C.0.8     D.-0.8

    答案:B

    解析:易知a,b[0,1],由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8,由E(ξ)=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,所以a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2.

    6.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p>0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是(  )

    A.   B.    C.    D.

    答案:C

    解析:发球次数X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,即4p2-12p+5>0,解得p<或p>,又0<p<1,故0<p<.

    7.设整数m是从不等式x2-2x-80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ=m2,则ξ的数学期望E(ξ)=(  )

    A.1  B.5

    C.2  D.

    答案:B

    解析:由x2-2x-80得-2x4,S={-2,-1,0,1,2,3,4},∵ξ=m2∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16,相应的概率分别为∴ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+4×+9×+16×=5.故选B.

    8.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(  )

    A.  B.        C.  D.

    答案:B

    解析:由已知,ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为22.

    若该轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.

    所以P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×,P(ξ=6)=2,所以E(ξ)=2×+4×+6×.故选B.

    二、非选择题

    9.设随机变量X的概率分布列为

    X

    1

    2

    3

    4

    P

    m

    则P(|X-3|=1)=________.

    答案:

    解析:由+m+=1,解得m=

    P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=.

    10.某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品,每年每人只要交少量保费,发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的工作共分为A,B,C三类工种,根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示,并以此估计赔付概率.

    工种类别

    A

    B

    C

    赔付频率

    若规定该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%,则A,B,C三类工种每份保单保费的上限之和为________元.

    答案:81.25

    解析:设工种A的每份保单保费为a元,保险公司每份保单的利润为随机变量X,则X的分布列为

    X

    a

    a-5×105

    P

    1-

    保险公司期望利润E(X)=a+(a-5×105)×=(a-5)(元),

    根据规定知,a-50.2a,

    解得a6.25.

    设工种B的每份保单保费为b元,同理可得保险公司期望利润为(b-10)元,根据规定知,b-100.2b,解得b12.5,设工种C的每份保单保费为c元,同理可得保险公司期望利润为(c-50)元,根据规定知,c-500.2c,解得c62.5.

    则A,B,C三类工种每份保单保费的上限之和为6.25+12.5+62.5=81.25(元).

    11.已知由甲、乙两名男生和丙、丁两种女生组成的四人冲关小组,参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》,活动共有四关,设男生闯过第一至第四关的概率依次是,女生闯过第一至第四关的概率依次是.

    (1)求男生闯过四关的概率;

    (2)设X表示四人冲关小组闯过四关的人数,求随机变量X的分布列和期望.

    解析:(1)记男生四关都闯过为事件A,则P(A)=×××.

    (2)记女生四关都闯过为事件B,则P(B)=×××

    又随机变量X的取值为0,1,2,3,4.

    因为P(X=0)=22

    P(X=1)=C···2+C···2

    P(X=2)=C22+C22+C···C··

    P(X=3)=C···2+C···2.

    P(X=4)=22.

    所以X的分布列如下:

    X

    0

    1

    2

    3

    4

    P

    E(X)=0×+1×+2×+3×+4×.

     

     

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