2023年高考数学(理数)一轮复习课时41《直线的倾斜角与斜率直线方程》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时41

《直线的倾斜角与斜率直线方程》达标练习

一 、选择题

1.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)

A.－1＜k＜       B.－1＜k＜     C.k＞或k＜－1      D.k＜－1或k＞

【答案解析】答案为：D.

解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2=k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.

令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.]

2.直线(a－1)x＋y－a－3=0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　 　)

A.1          B.        C.2          D.3

【答案解析】答案为：D；

解析：当x=0时，y=a＋3，当y=0时，x=，令t=a＋3＋=5＋(a－1)＋.

因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2 =9.

当且仅当a－1=，即a=3时，等号成立.

3.已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为(　　)

A.         B.－       C.0         D.1＋

【答案解析】答案为：A

解析：直线PQ的斜率为－，则直线PQ的倾斜角为120°，

所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝.故选A.

4.已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0, 则点N的坐标是(　　)

A.(－2，－1)         B.(2,3)     C.(2,1)         D.(－2,1)

【答案解析】答案为：B.

解析：∵点N在直线x－y＋1＝0上，∴可设点N坐标为(x0，x0＋1).

根据经过两点的直线的斜率公式，得kMN＝＝.

∵直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，

∴kMN×(－)＝－1，即＝2，解得x0＝2.因此点N的坐标是(2,3)，故选B.

5.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4=0的斜率的倒数，

则直线l的方程为(　　)

A.y=x＋2         B.y=x－2     C.y=x＋         D.y=－x＋2

【答案解析】答案为：A；

解析：因为直线x－2y－4=0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，

所以直线l的方程为y=x＋2.

6.经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为(　　)

A.y=2x或x－y＋1=0

B.y=2x或x＋y－3=0

C.x＋y－3=0或x－y＋1=0

D.y=2x或x＋y－3=0或x－y＋1=0

【答案解析】答案为：D.

解析：经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有以下几种情况：

①当截距为0时，直线过原点，得y=2x；

②当斜率为－1时，直线方程为x＋y－3=0；

③当斜率为1时，直线方程为x－y＋1=0.

综上所述，直线方程为y=2x或x＋y－3=0或x－y＋1=0.故选D.]

7.过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为(　　)

A.3x＋4y＋15＝0      B.3x＋4y＋6＝0

C.3x＋y＋6＝0        D.3x－4y＋10＝0

【答案解析】答案为：A

解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－，又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.

8.若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，

则直线l的斜率为(　　)

A.        B.－       C.－        D.

【答案解析】答案为：B

解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，

则有解得a=－5，b=－3，从而可知直线l的斜率为=－.

9.若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是(　　)

A.2         B.2         C.4         D.2

【答案解析】答案为：C

解析：因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0.

欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值.

而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图.

当过原点和点(m，n)的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，

原点到点(m，n)的距离最小，最小值为2.故m2＋n2的最小值为4.故选C.

10.已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是(　　)

A.0         B.2        C.         D.1

【答案解析】答案为：D

解析：直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立.故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.

11.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)

A.(-∞，－)∪(，+∞)    B.(－，)

C.[－,]                 D.(-∞，－)∪(，+∞)

【答案解析】答案为：B；

解析：直线ax＋y＋2=0过定点P(0，－2)，可得直线PA的斜率kPA=－，

直线PB的斜率kPB=.若直线ax＋y＋2=0与线段AB没有交点，

则－＜－a＜，解得－＜a＜，故选B.

12.若直线ax＋by=ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)

A.1　　　　B.2      C.4　　　　D.8

【答案解析】答案为：C.

解析：∵直线ax＋by=ab(a>0，b>0)过点(1,1)，

∴a＋b=ab，即＋=1，∴a＋b=(a＋b)(＋)=2＋＋≥2＋2=4，

当且仅当a=b=2时上式等号成立.∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.]

二 、填空题

13.已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________.

【答案解析】答案为：4x－y－2=0或x=1.

解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：y－2=k(x－1)，

即kx－y－k＋2=0，由题设有=，

即|k－1|=|k－7|，解得k=4.此时直线方程为4x－y－2=0.

若所求直线的斜率不存在，方程为x=1，满足题设条件.

故所求直线的方程为4x－y－2=0或x=1.

14.直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6=0，则直线l恒过定点________.

【答案解析】答案为：(2，－2).

解析：直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6=0，

由解得x=2，y=－2，所以直线l恒过定点(2，－2).

15.将直线y＝x＋－1绕它上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________.

【答案解析】答案为：y＝x

解析：由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°，

角变为60°，所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1，)，

所以直线方程为y－＝(x－1)，即y＝x.

16.已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，

则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________.

【答案解析】答案为：x＋y－2=0.

解析：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，直线l的方程为＋=1，则＋=1，

所以|OA|＋|OB|=a＋b=(a＋b)·=2＋＋≥2＋2=4，

当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2=0.