(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第9章 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程 (含解析)

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第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程


一、知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
(3)范围：直线l的倾斜角的范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)直线l的倾斜角为α≠，则l的斜率k＝tan_α．
(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
3．直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y＝kx＋b
两点式
＝
不能表示平行于坐标轴的直线
截距式
＋＝1
不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)
可以表示所有类型的直线
常用结论
1．直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．
(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了．
2．识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0.
(2)y轴：x＝0.
(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．
(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．
(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.
二、教材衍化
1．经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．
答案：x－y－5＝0
2．经过点A(－1，0)，B(2，－2)两点的直线方程为________．
答案：2x＋3y＋2＝0
3．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
解析：由题意得＝1，解得m＝1.
答案：1

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)对倾斜角的取值范围不清楚；
(2)忽略截距为0的情况．
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，所以α＝.
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0

考点一　直线的倾斜角与斜率(基础型)
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
核心素养：数学抽象，数学运算
(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．∪
C． D．∪
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
【解析】　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B．
(2)如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，

所以直线l的斜率k∈∪.
【答案】　(1)B
(2)∪
【迁移探究1】　(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围为________．
解析：直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
答案：
【迁移探究2】　(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP＝＝，kBP＝＝.
由图可知，直线l斜率的取值范围为.

(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k＝tan α的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
(2)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；
②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．　

1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．　
解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三点共线，
所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
解析：当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上得k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
考点二　直线的方程(基础型)
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．
核心素养：数学运算
(1)若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为________．
(2)若直线经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．
【解析】　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
②当横截距、纵截距都不为零时，
设所求直线方程为＋＝1，
将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述，所求直线的方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
【答案】　(1)4x＋3y－13＝0
(2)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0

巧设直线方程的方法
(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；
(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；
(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；
(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．
[注意]　(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；
(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；
(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.　

1．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选C．由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0.
2．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________．
解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
答案：x－y＋1＝0或x＋y－7＝0
考点三　直线方程的综合应用(综合型)
求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值．
(一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【解】　法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，A，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
法二：设直线l：＋＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
【迁移探究】　(变问法)在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：由本例法二知，＋＝1，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．　
　已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，
由动点P(a，b)在线段AB上，
可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，
从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，
由于0≤b≤1，
故当b＝时，ab取得最大值.
答案：

[基础题组练]
1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0　　　　 B．x－y－＝0
C．x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0
解析：选D．由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析：选A．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.
3．(多选)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
解析：选AC．当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1，2)，可得－＝1，解得a＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选AC．
4．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2]
D．(－∞，＋∞)
解析：选C．令x＝0，得y＝，
令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．
5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选C．因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C．
6．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析：BC的中点坐标为，所以BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________．
解析：直线l平分▱ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y＝x.
答案：y＝x
8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．

答案：[－2，2]
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
所以BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，
所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，
所以b＝±1.
所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
[综合题组练]
1．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜
C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1
解析：选D．设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，
则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.
2．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选B．由l的方程，得A，B(0，2＋4k)．
依题意得解得k＞0.因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥(2×8＋16)＝16，当且仅当16k＝，即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.3.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值为________，最小值为__________．
解析：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.

易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.
答案：8　
4．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．
解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.
联立得x2＋x＋6＝0.
要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.
答案：∪
5．已知直线l过点(2，1)，且在x，y轴上的截距相等．
(1)求直线l的一般方程；
(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值．
解：(1)①截距为0时，k＝＝，
所以l：y＝x，即x－2y＝0；
②截距不为0时，设直线方程为＋＝1，将(2，1)代入，计算得t＝3，则直线方程为x＋y－3＝0.
综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.
(2)由题意得l的方程为x＋y－3＝0，
因为点P(a，b)在直线l上，所以a＋b＝3，
所以3a＋3b≥2＝2＝6，
当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以3a＋3b的最小值是6.
6．(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？

解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，

所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20－m.
所以S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.
所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．