专题04 一次函数

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一、单选题
1．下列各图象中，不表示是的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数的定义可知，选项A、B、D中的函数图象符合函数的定义，选项C中的图象，y与x不是一一对应的，不符合函数的定义，故选：C．
2．函数y=+中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】C
【解析】解：由题意，得，解得x≤3且x≠2，故选C．
3．已知小明家、公园、文具店在同一条直线上．小明从家去公园，在公园锻炼了一段时间后又到文具店买文具，然后再回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．下列说法不正确的是（ ）
A．小明家距离公园；
B．公园距离文具店；
C．小明在文具店买文具花了；
D．小明从公园到文具店的平均速度为．
【答案】D
【解析】解：根据图象可知，小明家距离公园2000m，故选项A不合题意；
公园到文具店的距离为：2000-1500=500（m），故选项B不合题意；
小明在文具店买文具花的时间为：55-40=15（min），故选项C不合题意；
小明从公园到文具店的平均速度为：500÷（40-30）=50（m/min），故选项D符合题意．
故选：D．
4．若某正比例函数过，则关于此函数的叙述不正确的是（ ）．
A．函数值随自变量的增大而增大B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数图象关于原点对称D．函数图象过二、四象限
【答案】A
【解析】解：设正比例函数解析式，
∵正比例函数过，∴，∴，∴正比例函数解析式为，
∵，∴图象过二、四象限，函数值随自变量增大而减小，图象关于原点对称，∴四个选项中，只有A选项中的不正确，其余三个选项中的结论都是正确的.
故选．
5．下列图形能表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A、由一次函数图象得n＜0，m＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以A选项正确；
B、由一次函数图象得n＜0，m＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误；
C、由一次函数图象得n＞0，m＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以C选项错误；
D、由一次函数图象得n＞0，m＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误；故选：A．
6．如图，直线与直线的图像交于点P，那么关于x，y的二元一次方程组的解是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：直线与的图象相交于点，
关于，的二元一次方程组的解是，故选：．
7．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）
A．＞-2B．＜-2C．D．
【答案】D
【解析】由函数和的图象关于轴对称可由的图象得到函数的图象如图所示，
由图可知：函数的图象位于轴之上的部分在点（2，0）的左侧，
∴不等式的解集为：.故选D.
8．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，…，按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵直线的解析式为，∴直线与轴的夹角为．
∵轴，∴．
∵，∴．∴直线，，∴，
．同理可得，…∴的纵坐标为，∴．
故选D．
二、填空题
9．如图，在中，边长为10，边上的高为6，点在上运动，设长为，则的面积与之间的关系式___．
【答案】．
【解析】解：，边上的高是6，
．故答案为．
10．已知函数y=2x+1x≥0xx<0，当x=2时，函数值y为______．
【答案】5
【解析】解：因为x=2>0,所以y=2x+1=2×2+1=5
故答案为5
11．已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框从的路径运动，记的面积为，y与运动时间的关系如图2所示．若，则____s．
【答案】13
【解析】由图2可知从B→C运动时间为3s，
∴BC=2×3=6cm，同理CD=2×(5-3)=4cm，DE=2×(7-5)=4cm，
∴EF=AB –CD=6-4=2cm，AF=BC+DE=6+4=10cm，
∴BC+CD+DE+EF+AF=6+4+4+2+10=26cm，∴m=26÷2=13，故答案为13.
12．一次函数 y1＝kx+b 与 y2＝x+a 的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当 x＝3 时，y1＝y2；④不等式 kx+b＞x+a 的解集是 x＜3，其中正确的结论有_______．（只填序号）
【答案】①③④
【解析】解:① y1＝kx+b的图象从左向右呈下降趋势,k<0正确;
② y2＝x+a与y轴的交点在负半轴上, a<0,另一条直线与y轴交于正半轴，所以b>0,故②错误;
③两函数图象的交点横坐标为3,当x=3时, y1＝y2 ,故③正确;
④当x＜3时, y1＞y2 ，故④正确;故正确的判断是①③④.故答案为: ①③④.
13．如图，已知直线y＝x+6与x轴，y轴相交于点A，B，点C在线段OA上，将△BOC沿着BC折叠后，点O恰好落在AB边上的点D处，若点P为平面内异于点C的一点，且满足△ABC与△ABP全等，则点P的坐标为_____．
【答案】（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）
【解析】∵直线y＝x+6与x轴，y轴相交于点A，B，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=-8，∴A（﹣8，0），B（0，6），∴AB==10，
∵O与D关于BC对称，∴OB＝BD＝6，CO＝CD，∴AD＝10﹣6＝4，AC＝8﹣CD，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即(8-CD)2=42+CD2，解得：CD＝3，
∴OC=3，∴C（﹣3，0），
①如图，延长CD到P，是PD=CD，连接PA、PB，过D作DE⊥OA于E，
∵∠BDC=∠BOC=90°，∴AB是PC的垂直平分线，∴PB=BC，PA=AC，
又∵AB=AB，∴△ABP≌△ABC，∵CD=3，AD=4，AC=5，∠ADC=90°，
∴S△ACD=AC·DE=CD·AD，即5DE=12，解得：DE=，
当y=时，x+6=，解得：x=，∴D（，），
设P点坐标为（m，n）∵点D是PC的中点，∴，，
解得：m=，n=,∴P（﹣，）.
②过点B作x轴的平行线，过点A作BC的平行线，相交于点P，
∴∠PAB=∠ABC，∠PBA=∠BAC，P点纵坐标为6，
又∵AB=AB，∴△ABP≌△ABC，
设BC解析式为y=kx+b，∵C（-3，0），B（0，6），∴，解得：，
∴BC的直线解析式为y＝2x+6，∵PA//BC，∴设AP的解析式为y=2x+b1，
∵A（-8，0）∴2×(-8)+b1=0，解得：b1=16，
∴AP的直线解析式为y＝2x+16∵点P的纵坐标为6,∴2x+16=6，解得：x=-5，
∴P（﹣5，6）.
③如图，作点P（﹣5，6）关于AB的对称点P'，PP′交AB于E，作EF⊥PB，
∵点P与点P′关于AB对称，∴△ABP≌△ABP′，PE=P′E，
∵△ABP≌△ABC，∴△ABP′≌△ABC，
∵CD和PE是AB边上的高，∴PE=CD=3，
∴BE==4，∴EF==，
∴点E纵坐标为6-=，
∵点E在直线AB上，∴x+6=，解得：x=，∴E（，）
设P′（m，n）∵E为PP′的中点，∴，，
解得：m=﹣，n=，∴P'（﹣，）.
综上所述，满足条件的P点有（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）．
故答案为（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）．
14．如图，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点是线段上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为___________．
【答案】2或或4
【解析】①如图，当OQ=CQ时，过点C作CE⊥OA于点E，
直线与直线交于点C，得x=2，
y=x=2∴C(2,2)
设OQ=CQ=x，QE=2-x在Rt△CEQ中解得x=2
②当OC=OQ时，过点C作CE⊥OA于点E，C(2,2)
在Rt△CEO中， ，OC=
③当OC=CQ时， 过点C作CE⊥OA于点E
∵OC=CQ∴OE=EQ=2∴OQ=2OE=4
综上所示，若是等腰三角形，OQ的长为2或或4
故答案为：2或或4
三、解答题
15．问题探究：小江同学根据学习函数的经验，对函数y=-2|x|+5的图象和性质进行了探究．下面是小刚的探究过程，请你解决相关问题：
（Ⅰ）在函数y=-2|x|+5中，自变量x可以是任意实数；
（Ⅱ）如表y与x的几组对应值：
（Ⅲ）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
（1）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m= ；
（2）观察函数y=-2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质 ．
（3）直接写出，当0＜-2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是 ．
【答案】（Ⅲ）见解析；（1）－6；（2）图象关于y轴对称；函数最大值为5；（3）-＜x≤-1或1≤x＜
【解析】（Ⅲ） 画图像，如下图
（1）将x=6代入函数解析式得n=-2×|6|+5= -7，
将y=-7代入函数解析式得-7=-2×|m|+5，解得m=±6，
∵A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，∴m= -6，故答案为-6；
（2）由图知，函数y=-2|x|+5的图象关于y轴对称，且函数最大值为5
故答案为：图象关于y轴对称；函数最大值为5
（3）原不等式变形为 ,解得
故自变量x的取值范围是-＜x≤-1或1≤x＜．
16．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）线段表示赛跑过程中___________的路程与时间的关系（填“乌龟”和“兔子”）．赛跑的全程是_______米．
（2）兔子在起初每分钟跑________米，乌龟每分钟爬_______米．
（3）兔子醒来，以750米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
【答案】（1）乌龟、1500；（2）600，50；（3）28.8
【解析】解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；
∴线段表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的路程为1500米；故答案为：乌龟、1500；
（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑600米．
1500÷30＝50（米），∴乌龟每分钟爬50米，故答案是：600，50；
（3）30＋1−1−（1500−600）÷750＝28.8（分钟），∴兔子中间停下睡觉用了28.8分钟．
17．已知与成正比，且当时，，当时，．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）求函数图像与坐标轴围成图形的面积；
【答案】（1）y=-2x+3；（2）1≤x＜3；（3）
【解析】解：（1）∵与成正比，设，
把x=-5，y=13代入上式得：，解得：k=-2，∴函数表达式为：y=-2x+3；
（2）若-3＜y≤1，即-3＜-2x+3≤1，解得：1≤x＜3；
（3）在y=-2x+3中，
令x=0，则y=3，即与y轴交于（0，3），
令y=0，则x=，即与x轴交于（，0），
∴函数图像与坐标轴围成图形的面积为：=．
18．为提升校园体育运动多样性，助力师生“阳光运动”，某校决定采购一批排球和足球，小明在某体育用品商店咨询了排球和足球的售价具体信息：购买2个排球和3个足球共需460元，购买12个排球所需费用与购买5个足球所需费用相同．
（1）求排球和足球的售价分别是多少元？
（2）若该校计划购进排球和足球共100个，其中排球的数量不超过足球的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）排球的售价是50元，足球的售价是120元；（2）购买足球25个，购买排球75个时最省钱
【解析】解：（1）设排球的售价是a元，足球的售价是b元，依据题意可得：
,解得：．答：排球的售价是50元，足球的售价是120元；
（2）设购买足球x个，则购买排球（100﹣x）个，依据题意可得：
100﹣x ≤ 3x，解得：x ≥ 25，设购买排球和足球的总共费用为w元，依据题意可得：
w＝50（100﹣x）+120x＝70x+5000，
∵w随x的增大而增大，且x为正整数，
∴当x＝25时，w取得最小值，此时100﹣25＝75（元）．
故购买足球25个，购买排球75个时最省钱．
19．已知一次函数，其中a为常数，且．
（1）若点在该一次函数的图象上，求a的值；
（2）当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势；
（3）已知A的坐标，B的坐标，O为原点，若该函数的图象与围成的区域有交点（含边界），求a的取值范围；
【答案】（1）2；（2）函数值y随自变量x的增大而减小；（3）≤a≤
【解析】解：（1）∵点在一次函数图像上，
∴，解得：a=2；
（2）∵该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，
令x=0，则y=，则-2a+1＞0，解得：a＜，∴a-1＜＜0，
∴函数值y随自变量x的增大而减小；
（3）∵，令x=2，则y=-1，
∴该函数经过定点（2，-1），如图，当函数经过点B时，将B（-4，1）代入，
则，解得：a=；
当函数经过点A时，将A（0，4）代入，则，
解得：a=；
∴若该函数的图象与围成的区域有交点（含边界），则a的取值范围是≤a≤．
20．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中，点C在x轴的正半轴上，且．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线，若点P为y轴上一个动点，Q为直线上一个动点，求的周长的最小值；
（3）如图2，直线BC上有一点，将直线BC绕点F顺时针旋转90°得到直线，与x轴交于点H，直线上有一点，点M是直线上一动点，是否存在点M使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1），（2），（3），，，．
【解析】解：（1）直线：分别与轴、轴交于，两点，
∴点坐标为，则，
，∴A点坐标为（-3,0），代入得，
，解得，，故直线的解析式为：．
（2）将直线：下平移个单位长度得到直线：，与轴交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线，∴点坐标为，直线：，∵，∴点坐标为，
设直线解析式为，∴，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得，∴点坐标为，
如图所示，作关于直线对称点，关于轴对称点，连接，，．
∴坐标为，坐标为，
由对称性可知，，
周长，
当点，，，四点共线时，周长取得最小值为，
又，周长最小值为．
（3）点为直线：上一点∴，即，
将直线绕点顺时针旋转90°得到直线，∴设直线解析式为，
将代入中得，∴直线：，又直线与轴交点为，∴点坐标为，点为直线上有一点，∴，则，∴点坐标为，
又点为直线上一动点∴设点坐标为，
∴，
，
，
若为直角三角形，由勾股定理可知：
或或
①时，
，
∴，
∴，
∴，；
②当时，
，
，
∴，
∴；
③当时，
，
∴，，
∴，
综上所述：当为直角三角形时，
点的坐标为：，，，． x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-3
-1
1
3
5
3
1
-1
-3
…