2022年中考数学基础题提分讲练专题：04 一次函数（含答案）

这是一份2022年中考数学基础题提分讲练专题：04 一次函数（含答案），共21页。
必考点1 函数及其定义域（自变量取值范围）
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
【典例1】在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】D
【解析】
由题意得，，，解得，且，故选：D．
【点睛】
此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义
【举一反三】
1. 函数的自变量的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
根据题意得：，
解得，
故选D．
2. 函数自变量x的取值范围是 _____.
【答案】x≥1且x≠3
【解析】
根据题意得：，解得x≥1，且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．故答案为x≥1且x≠3．
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
必考点2 一次函数的图像和性质
一次函数的定义：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
必过点：（0，b）和（-，0）
直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2
（2）两直线相交：k1k2
（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2
（4）两直线垂直：
【典例2】一次函数的图像经过的象限是（ ）
A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四
【答案】C
【解析】
解：∵一次函数，
∴该函数经过第一、三、四象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【举一反三】
1. 若三点，，在同一直线上，则的值等于（ ）
A．-1B．0C．3D．4
【答案】C
【解析】
设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，
∴
∴，
∴y=3x+1，
将点（a，10）代入解析式，则a=3；
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
3. 下列关于一次函数的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限
B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点
D．当时，
【答案】D
【解析】
∵，
∴图象经过第一、二、四象限，
A正确；
∵，
∴随的增大而减小，
B正确；
令时，，
∴图象与轴的交点为，
∴C正确；
令时，，
当时，；
D不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键．
必考点3 一次函数与方程、不等式
一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
【典例3】如图所示，直线l1：yx+6与直线l2：yx﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6x﹣2的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2
【答案】A
【解析】
当x＞﹣2时，x+6x﹣2，
所以不等式x+6x﹣2的解集是x＞﹣2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【举一反三】
1．如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( )
A．B．C．或D．
【答案】D
【解析】∵直线和与x轴分别交于点，点，
∴解集为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．
2. 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y=2x-1，y=-x+2，因此所解的二元一次方程组是故选D。
3. 如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（ ）
A．x＞B．x＜C．x＞3D．x＜3
【答案】B
【解析】
解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，
令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，
∴点B（，0）．
观察函数图象，发现：
当x＜时，一次函数图象在x轴上方，
∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．
必考点4 一次函数的实际应用
【典例4】某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
【答案】（1）， （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
【详解】
（1）设，根据题意得，
解得，
∴；
设，根据题意得：
，
解得，
∴；
（2）①，即，解得，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②，即，解得，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③，即，解得，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
【举一反三】
1. 在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是______.
【答案】y＝－6x＋2
【解析】
根据题意得y=-6x+2
故答案为：y=-6x+2
【点睛】
此题考查一次函数的解析式，解题关键在于根据题意列出方程组
2. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_____．
【答案】（32，4800）
【解析】
由题意可得，150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为：（32，4800）．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程150t＝240（t﹣12）是解决问题的关键．
3. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱，见解析.
【解析】
解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯只，费用为w元，

∴当时，w取得最小值，此时
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
1. 下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；
、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.
故选：.
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段AB，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解：由点平移后可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，
点B的对应点的坐标．
故选：C．
【点睛】
本题运用了点的平移的坐标变化规律，解题关键得出点B的对应点的坐标．
3. 直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：．
故选：D．
【点睛】
考核知识点：一次函数图象的平移.理解平移性质是关键.
4. 若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如下图图象，易得时，
故选D
【点睛】
本题考查一次函数与不等式的关系，本题关键在于利用画出图像，利用数形结合进行解题
5．如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案：
∵由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（﹣2，3），
∴方程组的解是．故选A．
6．如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图所示，延长交轴于点．设
∵这束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，
∴由反射定律可知，，
∵∠1=∠OCD，
∴，
∵于，
∴=90°，
在和中，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴将点，点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴点坐标为．
故选B．
【点睛】
本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性较强，难度略大．
7. 某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）
A．9：15B．9：20C．9：25D．9：30
【答案】B
【解析】
设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，
∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，
∴y2=-4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
8. 一条公路旁依次有三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①两村相距10；②出发1.25后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8；④相遇后，乙又骑行了15或65时两人相距2．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
解：
由图象可知村、村相离10，故①正确，
当1.25时，甲、乙相距为0，故在此时相遇，故②正确，
当时，易得一次函数的解析式为，故甲的速度比乙的速度快8．故③正确
当时，函数图象经过点设一次函数的解析式为
代入得，解得
∴
当时．得，解得
由
同理当时，设函数解析式为
将点代入得
，解得
∴
当时，得，解得
由
故相遇后，乙又骑行了15或65时两人相距2，④正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用.
9. 当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____．
【答案】.
【解析】
经过第二、三、四象限，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键．
10. 直线与轴交点坐标为_____________．
【答案】
【解析】
解：∵当y=0时，2x-1=0
∴x=
∴直线与轴交点坐标为：
故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，明确当y=0时的x的值即为直线与x轴交点的横坐标是解题的关键
11. 如图，在平面直角坐标系中，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是___．
【答案】．
【解析】
解：∵
∴
过点作轴于点，
∴∠BOA=∠ADC=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAD=90°.
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CAD=∠ABO.
∵AB=AC，
∴.
∴
∴
设直线的解析式为，将点，点坐标代入得
∴
∴直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】
本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等．
12. 甲、乙两地间的直线公路长为千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；值为_______．
（2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米．
【答案】（1）；；（2）（3）货车出发小时或小时后两车相距千米
【解析】
解：（1）车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时；．
故答案为：；；；
（2）由题意可知：，，，
设直线的解析式为，
，
当时，，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
，
；
（3）设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得：
或，
解得或．
答：货车出发小时或小时后两车相距千米．
【点睛】
本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究.
13. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少
【解析】
解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
，
A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，，
，
，
当时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
b>0
b0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k