第04讲 一次函数的实际应用（解析版讲义）

这是一份第04讲 一次函数的实际应用（解析版讲义），共29页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式2-4，变式2-5等内容，欢迎下载使用。

1．根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
2．一次函数的应用
（1）分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
（3）简单的一次函数问题：
①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jye.cm；学号：53016436
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考点一：根据实际问题列一次函数关系式
例1．（2023秋•淮北期中）小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程（米与他行走的时间（分之间的函数关系正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，所用时间为15分钟，进而得出与的函数关系式．
【解答】解：由题意可得：
，
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出一次函数，得出前半程所用时间是解题关键．
【变式1-1】（2022秋•大观区校级期中）已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是
A．B．
C．D．
【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可．
【解答】解：，
，
，
两边之和大于第三边，即，
解得：，
故底边长与腰长的函数关系式是：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，要求同学们熟练掌握等腰三角形的性质及三角形三边关系．
【变式1-2】（2021秋•禹会区校级期中）表示皮球从高处落下时，弹跳高度与下落高度的关系如下表所示：则与之间的关系式为
A．B．C．D．
【分析】这是一个用图表表示的函数，可以看出是的2倍，即可得关系式．
【解答】解：由统计数据可知：是的2倍，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查根据实际问题列一次函数的关系式，属于基础题，比较容易，关键是读懂题意．
【变式1-3】（2022秋•东至县期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 ．
【分析】根据乘车费用起步价超过3千米的付费得出．
【解答】解：依题意有：．
故答案为：．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用起步价超过3千米的付费．
考点二：一次函数的应用
例2．（2024春•无为市月考）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．
【解答】解：由题意知：；
故选：．
【点评】本题考查了求函数关系式，正确记忆相关知识点是解题关键．
【变式2-1】（2023秋•庐阳区期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图所示，下列说法正确的是
A．乙用16分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1500米才到达终点
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
【答案】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．
【解答】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，
甲步行的速度为（米分钟），
由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故不符合题意；
乙的速度为（米分钟），
则乙走完全程的时间为（分钟），
乙追上甲剩下的路程为：（米，
乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故不符合题意；
当乙到达终点时，甲步行了（米，
甲离终点还有（米，
故甲乙两人之间的最远距离是360米，故不符合题意．
乙休息的时间为（分钟），
故甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故符合题意．
故选：．
【点评】本题考查函数图象，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．
【变式2-2】（2023秋•霍邱县期末）对于某个一次函数，张颖说：该函数的图象不经过第二象限，赵丰说：该函数的图象经过点．若这两位同学的叙述都是正确的，那么根据这两位同学对话得出的结论，错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：该函数的图象经过点．
，
故，
故正确，不符合题意；
该函数的图象不经过第二象限，
，，
故，
故，正确，不符合题意；
，
，
，
，
故错误，符合题意，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键．
【变式2-3】（2023春•颍东区校级期末）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离 与所挂物重 之间满足一次函数关系．若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时，秤砣到秤纽的水平距离为．则当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出关于的函数关系式，当时解方程求出对应的值即可．
【解答】解：设与的函数关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，解得，
．
当时，解得，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的关系式是解题的关键．
【变式2-4】（2024•合肥模拟）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度（厘米）与观察时间（天的函数关系如图所示，，轴，则第6天该植物的高度为
A．10厘米B．12厘米C．6厘米D．8厘米
【答案】
【分析】根据图象可得时与之间的函数关系式，进而得出直线的函数关系式，再把代入计算即可．
【解答】解：当时，设，则，
解得，
当时，，
，
设直线的解析式为，根据题意得：
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
即第6天该植物的高度为10厘米．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求求出直线的解析式是解题的关键．
【变式2-5】（2024•临泉县校级三模）为了测验甲、乙两款鞭炮的燃烧速度，厂家对这两款鞭炮进行5分钟的定时燃放测试．已知甲、乙同时点燃，甲全程匀速燃放，乙开始时在“基本模式”下燃放，中途进行1分钟的蓄力，之后切换到它的“全速模式”下燃放．已知甲、乙燃放鞭炮的长度，（米与燃放时间（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙燃放的长度差（米与燃放时间（分钟）之间的函数关系如图②所示．下列说法正确的是
A．乙鞭炮“全速模式”下燃放速度是6米分
B．甲鞭炮的燃放速度是4米分
C．线段的表达式为
D．图①中的值为3
【答案】
【分析】对照图①与图②逐项进行分析计算即可．
【解答】解：由，，乙鞭炮“全速模式”下燃放速度是（米分），故正确，符合题意．
由，，甲鞭炮的燃放速度是（米分），故错误，不符合题意；
由题图得：、，设的解析式为，
将点、的坐标代入得：，
解得，，
则线段的解析式为，故错误，不符合题意；
当时，，则，故错误不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及求一次函数的解析式等知识点，正确分析图形是解题的关键．
【变式2-6】（2024春•庐江县校级月考）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从剭房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，、与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是
A．慧慧比聪聪晚出发15秒
B．慧慧提速后的速度为30厘米秒
C．
D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为
【答案】
【分析】．根据图象直接判断即可；
．根据“速度路程时间”求出慧慧提速前的速度，从而求出提速后的速度；
．根据“速度时间路程”求出的值，根据“速度路程时间”求出聪聪的速度，再根据“时间路程速度”求出的值即可；
．当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，根据“路程速度时间”求出此时的最大值；当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，求出此时的最大值；当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小到0，比较这两个最大值并选择较大的一个即可．
【解答】解：由图象可知，慧慧比聪聪晚出发15秒，
正确，不符合题意；
慧慧提速前的速度为，则提速后的速度为，
正确，不符合题意；
根据“速度时间路程”，得，解得，
根据“速度路程时间”，得聪聪的速度为，
根据“时间路程速度”，得聪聪到达客人的时间为，
，
正确，不符合题意；
由图象可知，当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐增大，当时两者距离达到最大，最大值为，
当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，最大值为，
当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小到0，
，
聪聪和慧慧之间距离的最大值为，
不正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系是解题的关键．
【变式2-7】（2023秋•蒙城县期末）如图是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为 双层部分的长度为 经测量，得到如下数据：
（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出关于的函数解析式；
（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
（3）设挎带的长度为 求的取值范围．
【分析】（1）观察表格可知，是的一次函数，设，利用待定系数法即可解决问题；
（2）列出方程组即可解决问题；
（3）由题意当，，当时，，可得．
【解答】解：（1）观察表格可知，是的一次函数，设，
则有，解得，
．
当时，，当时，；
补全表格如图所示：
（2）由题意，解得，
单层部分的长度为；
（3）由题意当，，当时，，
．
【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2-8】（2023秋•贵池区期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：
若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．
（1）求，的值；
（2）计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
【答案】（1）的值为100，的值为150；（2）有4购买方案；（3）购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元．
【分析】（1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据购买型公交车8辆，型公交车2辆，设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案；
（3）设购车总费用为万元，根据总费用购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值．
【解答】解：（1）依题意得：
答：的值为100，的值为150；
（2）设购买型公交车辆，则购买型公交车 辆，
解得：
又为整数，
有4购买方案；
方案一：购买型公交车6辆，购买型公交车4辆；
方案二：购买型公交车7辆，购买型公交车3辆；
方案一：购买型公交车8辆，购买型公交车2辆；
方案二：购买型公交车9辆，购买型公交车1辆；
（3）设购车总费用为万元，
则，且为整数）
，
随的增大而减小，
当时，最小，最小值为（万元），
购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确列出函数解析式．
【变式2-9】（2023秋•宁国市期末）县举办运动会需购买，两种奖品，若购买种奖品5件和种奖品2件，共需80元；若购买种奖品3件和种奖品3件，共需75元．
（1）求、两种奖品的单价各是多少元？
（2）大会组委会计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出（元与（件之间的函数关系式．求出自变量的取值范围，并确定最少费用的值．
【分析】（1）设、两种奖品的单价分别为、元，则，即可求解；
（2）设购买种奖品件，则为件，由题意得：，而，即可求解．
【解答】解：（1）设、两种奖品的单价分别为、元，
则，
解得：；
（2）设购买种奖品件，则为件，
由题意得：，
解得：，
，
当时，有最小值为：1125，
答：最少费用为1125．
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是（2）中用不等式组，确定的取值范围．
【变式2-10】（2023秋•宣城期末）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围
（2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值．
【分析】（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆．根据表格可列出等量关系式，化简得；
（2）由利润车辆数每车水果获利可得与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆．
，
；
（2），
即，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值10.3万元，
装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元．
【点评】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键．
【变式2-11】（2023秋•淮北月考）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为（人，师生门票总金额为（元．
（1）分别写出两种优惠方案中与的函数表达式；
（2）请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；
（3）若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？
【答案】（1），；
（2）当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；时，，选方案一较划算；当时，选方案二较划算．
（3）14人．
【分析】（1）首先根据优惠方案①：付款总金额购买成人票金额除去3人后的学生票金额；
优惠方案②：付款总金额（购买成人票金额购买学生票金额）打折率，列出关于的函数关系式，
（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论
（3）把分别代入解析式解答即可．
【解答】解：（1）按优惠方案一可得
，
按优惠方案二可得
；
（2），
①当时，得，解得，
当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；
②当时，得，解得，
时，，选方案一较划算；
③当时，得，解得，
当时，，选方案二较划算．
（3）当时，，解得，不满足，
当时，，解得，满足题意，
学生有14人．
【点评】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点的取值，再进一步讨论．
【变式2-12】（2023秋•淮北期中）2023年暑假，多地发生水灾，某企业组织了20辆货车装运甲、乙、丙三种共120吨救援物资前往灾区，按计划20辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满．已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装5吨．
（1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，求与之间的函数关系式；
（2）如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？
（3）若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨2万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？
【答案】（1）；
（2）安排方案有3种：①装运甲种物资的车辆数为3辆，装运乙种物资的车辆数为11辆，则装运丙种物资的车辆为6辆；②装运甲种物资的车辆数为4辆，装运乙种物资的车辆数为8辆，则装运丙种物资的车辆为8辆；③装运甲种物资的车辆数为5辆，装运乙种物资的车辆数为5辆，则装运丙种物资的车辆为10辆；
（3）该公司此次购买捐赠物资花费340万元．
【分析】（1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆，根据“甲、乙、丙三种共120吨救援物资前往灾区”得出，整理即可得到答案；
（2）根据装运每种物资的车辆都不少于3辆，可得一元一次不等式，解不等即可得到答案；
（3）设该公司此次购买捐赠物资花费万元，由题意得：，再根据一次函数的性质进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆，
根据题意得：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
（2）由（1）得：装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为3，4，5，
安排方案有3种：①装运甲种物资的车辆数为3辆，装运乙种物资的车辆数为11辆，则装运丙种物资的车辆为6辆；②装运甲种物资的车辆数为4辆，装运乙种物资的车辆数为8辆，则装运丙种物资的车辆为8辆；③装运甲种物资的车辆数为5辆，装运乙种物资的车辆数为5辆，则装运丙种物资的车辆为10辆；
（3）设该公司此次购买捐赠物资花费万元，
由题意得：，
，
随着的增大而减小，
当时，（万元），
该公司此次购买捐赠物资花费340万元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键．
【变式2-13】（2023秋•蒙城县校级月考）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元个，精装练习本的进价为7元个，设购买普通练习本个，获得的利润为元；
①求关于的函数关系式；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；200本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程组，求出即可；
（2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据总利润普通练习本获得的利润精装练习本获得的利润，列出关系式，然后再求出自变量的取值范围即可；
②根据一次函数的性质和的取值范围，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
（2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个，
由题意可得：，
普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
，
解得，
即关于的函数关系式是；；
②，
随的增大而减小，
，
当时，取得最大值，此时，，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
【变式2-14】（2023秋•金安区校级月考）10月18日，2023年全国青少年体育工作会议在重庆召开．会议指出，足球、篮球、排球运动深受民众喜爱，“三大球”发展备受社会各界关注．因此，要抓好青少年“三大球”工作．某学校为贯彻会议精神计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示．
（1）请直接写出与之间的函数表达式；
（2）若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最少，并求出最少费用．
【答案】（1）与的函数关系式为；
（2）当购买种品牌的足球20个，种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得与之间的函数解析式；
（2）根据题意可以得到与种足球数量之间的函数关系，再根据购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，可以求得种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设当时，与的函数关系式为，
则，
得，
即当时，与的函数关系式为，
设当时，与的函数关系式为，
，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
由上可得，与的函数关系式为；
（2）设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个，
根据题意得：，
解得，
，
当时，取得最小值，最小值，
此时，
答：当购买种品牌的足球20个，种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式2-15】（2023秋•肥东县期末）某工厂同时生产甲、乙两种零件，已知每生产一个甲种零件可获得利润260元，每生产一个乙种零件可获得利润150元，工作2天后为了提高生产效率，现引进新的生产技术，对生产乙种零件的生产工人进行了新技术的培训同时停产一天，新技术培训后生产效率是之前的2倍．甲、乙生产线各自生产的零件个数（件与生产时间（天的函数关系如图所示．
（1）求生产甲种零件的个数（件与工作时间（天的函数关系式；
（2）求新技术培训后生产乙种零件的个数（件与工作时间（天的函数关系式；
（3）该工厂前7天的总利润是多少？
【答案】（1）；
（2）；
（3）184200元．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）先求出乙当时对应的值，再利用待定系数法解答即可；
（3）该工厂前7天的总利润前7天生产甲种零件的利润前7天生产乙种零件的利润，据此作答即可．
【解答】解：（1）设生产甲种零件的个数与工作时间的函数关系式为为常数，且．
将，代入，
得，解得，
．
（2）新技术培训前的生产效率是（件天），新技术培训后的生产效率是（件天），
（天，（天．
设新技术培训后生产乙种零件的个数与工作时间的函数关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，解得，
．
（3）前7天生产甲种零件的利润为（元，生产乙种零件的利润为（元，
（元，
该工厂前7天的总利润是184200元．
【点评】本题考查一次函数的应用，熟练运用待定系数法求函数的关系式是解题的关键．
【变式2-16】（2023秋•安庆期末）某校运动会需购买、两种奖品，若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品5件和种奖品3件，共需95元，
（1）求、两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计过购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍．设购买种奖品件，购买费用为元，写出（元与（件之间的函数表达式，并求最少费用的值．
【分析】（1）设奖品的单价是元，奖品的单价是元，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）根据总费用两种奖品的费用之和表示出与的关系式，并有条件建立不等式组求出的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解（1）设奖品的单价是元，奖品的单价是元，由题意，得
，
解得，
答：奖品的单价是10元，奖品的单价是15元；
（2）由题意，得
，
解得：．
是整数，
，71，72，73，74，75．
，
，
随的增大而减小，
时，．
应买种奖品75件，种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
【变式2-17】（2023秋•宿松县期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区镇100吨，调往灾区镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到镇和镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到镇和镇的运费分别为30元和50元．
（1）设从甲县调往镇水泥吨，求总运费关于的函数关系式；
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
【答案】（1）；
（2）从甲县分别调往镇和镇水泥各100吨，从乙县将300吨水泥全部调往镇，27000元．
【分析】（1）用含的代数式分别表示出从甲县调往镇水泥的数量和从乙县调往镇、镇水泥的数量，再根据每吨水泥不同的运费写出关于的函数关系式，并标明的取值范围；
（2）根据（1）中得到的函数关系式，判断随的变化情况，结合的取值范围，确定当为何值时，取最小值，并将此时的值代入函数，计算的最小值，并计算从甲县和乙县分别调往镇、镇水泥的数量．
【解答】解：（1）根据题意可知，从甲县调往镇水泥吨，从乙县调往镇水泥吨、调往镇水泥吨，
，
关于的函数关系式为．
（2），
随的增大而减小，
当时，取最小值，的最小值为，
从甲县分别调往镇和镇水泥各100吨，从乙县将300吨水泥全部调往镇，可使总运费最低，最低运费是27000元．
【点评】本题考查一次函数的应用，写出关于的函数关系式是解题的关键．
【变式2-18】（2023秋•固镇县期末）元月份新华商场进了一批保暖裤，正好15天内销完．保暖裤每日销售量（件与销售时间（天之间的函数表达式为，如图是保暖裤销售单价（元件）与销售时间（天之间的函数关系是整数）．
（1）第6天的销售量为 18 件，第6天的销售单价为 元；
（2）计算第13天的销售额（日销售额日销售量日销售单价）；
（3）哪几天日销售量为24件？销售量同为24件，哪一天日销售金额较高？
【答案】（1）18，60；
（2）576元；
（3）第8和第11天日销售量为24件，第8天销售金额较高．
【分析】（1）把代入可得销售量，结合函数图象可得销售单价；
（2）先求解当时，与的函数关系，再计算当时的销售量与销售单价可得答案；
（3）把代入，可得销售时间，再计算销售单价，可得结论．
【解答】解：（1）当时，销售量（件；
当时，销售单价（元；
（2）设保暖裤销售单价（元件）与销售时间（天之间的函数关系为，
，
解得：，
，
当时，，，
第13天的销售额为（元；
（3），
当，则，
当，则，
第8和第11天日销售量为24件，
当时，，
销售额为（元，
当时，，
销售额为（元，
第8天销售金额较高．
【点评】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键．
1．（2024•合肥模拟）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度（厘米）与观察时间（天的函数关系如图所示，，轴，则第6天该植物的高度为
A．10厘米B．12厘米C．6厘米D．8厘米
【答案】
【解答】解：当时，设，则，
解得，
当时，，
，
设直线的解析式为，根据题意得：
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
即第6天该植物的高度为10厘米．
故选：．
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2．（2024•安徽模拟）一款纯电家用汽车电池容量为，电池的剩余电量与行驶路程之间满足一次函数关系．已知该汽车行驶时，电池的剩余电量为，行驶时，电池的剩余电量为．若该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：设电池的剩余电量与行驶路程之间的关系式为，
根据题意得，，
解得，
，
当时，，
解得，
该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为．
故选：．
3．（2024•固镇县三模）学完一次函数的知识后，某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸点，经过几次测量，得到如下数据．
当加热时，该液体刚好沸腾，则其沸点温度是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：设，
根据题意，得：，
解得，
，
当时，，
即当加热时，油沸腾了，小明估计这种油的沸点温度是，
故选：．
4．（2024•肥东县校级模拟）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度 与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：
根据小明的数据，可以得出该品牌42码鞋子的长度为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：设与的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即与的函数解析式为，
当时，，
故选：．
5．（2023秋•肥东县期末）一条公路旁依次有，，三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是
A．，两村相距
B．出发后两人相遇
C．甲每小时比乙多骑行
D．相遇后两人又骑行了，此时两人相距
【答案】
【解答】解：，、两村相距，故正确，不符合题意；
当时，甲、乙相距为，故在此时相遇，故正确，不符合题意；
当时，得一次函数的解析式为，
故甲的速度比乙的速度快，故正确，不符合题意；
相遇后，后两人相距，
当时，乙距地，所以乙的速度是：
，
相遇后，乙距地的路程是：
，
故错误，符合题意．
故选：．
6．（2023秋•蜀山区校级月考）甲、乙两人同时从、两地出发相向而行，甲先到达地后原地休息，甲、乙两人的距离与乙步行的时间之间的函数关系的图象如图，则 5.25 ．
【解答】解：、两地相距21千米；3小时后两人相遇；
，
，
，
，
所以．
故答案为：5.25．
7．（2022秋•东至县期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 ．
【解答】解：依题意有：．
故答案为：．
8．（2023秋•裕安区校级月考）某水果种植基地通过网红带货的形式出售一批黄桃．如图，线段反映了黄桃的日销售量与销售单价（元之间的函数关系，已知的黄桃的种植成本是4元．如果某天该网络平台黄桃的售价为9元，那么该天销售黄桃所获得的利润是 9000 元．
【答案】9000．
【解答】解：设的解析式是，
根据题意，得，
解得，
苹果日销售量（千克）与黄桃售价（元的函数解析式是，
当时，黄桃日销售量，
该天销售黄桃的盈利是（元，
故答案为：9000．
9．（2023秋•埇桥区期末）、两地相距630千米客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法：①客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时；②点横坐标为12；③、两站间的距离是540千米；④点坐标为，其中正确的说法是 ①③④ （填序号）．
【答案】①③④
【解答】解：设客车的速度为千米小时，则货车的速度为千米小时，由函数图象得：货车行驶2小时到达站，客车行驶9小时到达站，则，解得，因此，客车的速度为60千米小时，货车的速度为45千米小时，说法①正确；
货车到达地所用时间为 （小时），则点的横坐标为14，说法②错误；
、两站间的距离是（千米），说法③正确；
两车相遇的时间为（小时），则相遇位置离站的距离为（千米），因此，点的坐标为，说法④正确；
综上，正确的说法是①③④，
故答案为：①③④．
10．（2023春•砀山县校级期末）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事表示乌龟从起点出发所行的时间，表示兔子所行的路程，表示乌龟所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在分期间追上乌龟．其中正确的说法是 ①③④ ．（把你认为正确说法的序号都填上）
【答案】①③④．
【解答】解：由函数图象，得：
“龟兔再次赛跑”的路程为1000米，兔子在乌龟出发40分钟后出发的，乌龟在途中休息了：（分钟），兔子在40—5（0分）期间追上乌龟，
故①③④正确，②错误；
故答案为 ①③④．
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11. （2023秋•肥东县期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为（人，师生门票总金额为（元．
（1）分别求出两种优惠方案中与的函数表达式；
（2）请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少．
【答案】（1），；
（2）当时，选择方案二购票师生门票总费用较少；当时，选择方案一或方案二师生门票总费用一样多；当，选择方案一购票师生门票总费用较少．
【分析】（1）方案一的门票总金额名教师的门票金额名学生的门票金额，方案二的门票总金额名教师的门票金额名学生的门票金额），据此作答即可；
（2）方案一与方案二的门票总金额作比较，解一元一次不等式，求出对应的的范围．
【解答】解：（1）方案一：；
方案二：；
方案一与方案二中与的函数表达式分别为和．
（2）①当时，解得；
②当时，解得；
③当时，解得，
又，
．
当时，选择方案二购票师生门票总费用较少；当时，选择方案一或方案二师生门票总费用一样多；当，选择方案一购票师生门票总费用较少．
【点评】本题考查一次函数及一元一次不等式的应用，根据题意写出与的函数关系式及掌握解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
12．（2023秋•阜阳期末）商店销售1台型和2台型电脑的利润为400元，销售2台型和1台型电脑的利润为350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润元．
（1）①求关于的函数关系式；
②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（2）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调了元，且限定商店最多的进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）①，
②商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大．
（2）①当时，商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大．
②时，商店购进型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润．
【分析】（1）①据题意得，，
②利用不等式求出的范围，又因为是减函数，所以取34，取最大值，
（2）据题意得，，即，分三种情况讨论，①当时，随的增大而减小，②时，，，随的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；根据题意得
解得
，即，
②据题意得，，解得，
，，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大．
（2）据题意得，，即，
①当时，随的增大而减小，
当时，取最大值，
即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大．
②时，，，
即商店购进型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题；
2．有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力；
3．认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力．
下落高度
80
100
150
弹跳高度
40
50
75
单层部分的长度
100
90
80
60
50
双层部分的长度
15
20
25
35

单层部分的长度
100
90
80
60
50
双层部分的长度
15
20
25
35
40
型
型
价格（万元辆）
年载客量（万人年）
60
100
苹果
芦柑
香梨
每辆汽车载货量（吨
7
6
5
每吨水果获利（万元）
0.15
0.2
0.1
时间
0
10
20
30
液体温度
15
25
35
45
码数
28
32
44
46
长度
19
21
27
28