专题04数形思想课之一次函数与二元一次方程（组）综合专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题04数形思想课之一次函数与二元一次方程（组）综合专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2020·浙江八年级期中）如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．，
【答案】B
【分析】
由直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，即可求得点A与B的坐标，又由S△ABD=4，即可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线CD的解析式，然后由直线AB与CD相交于点P，可得方程组：，解此方程即可求得答案．
【详解】
解：∵直线AB：y=x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B，
令，则；令，则，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∵S△ABD=BD•OA=×BD×2=4，
∴BD=4，
∴OD=BD-OB=4-1=3，
∴点D的坐标为（0，-3），
∵点D在直线y=x+b上，
∴b=-3，
∴直线CD的解析式为：y=x-3，
∵直线AB与CD相交于点P，
联立可得：，
解得，
即的坐标是．
故选：．
【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、点与一次函数的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
2．（2022·浙江八年级期末）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由图易知两条直线分别经过（-1，1）、（1，0）两点和（0，2）、（-1，1）两点，设出两个函数的解析式，然后利用待定系数法求出解析式，再根据所求的解析式写出对应的二元一次方程，然后组成方程组便可解答此题.
【详解】
由图知，设经过（-1，1）、（1，0）的直线解析式为y=ax+b（a≠0）.
将（-1，1）、（1，0）两点坐标代入解析式中，解得

故过（-1，1）、（1，0）的直线解析式y=，对应的二元一次方程为2 y +x -1=0.
设经过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=kx+h（k≠0）.
将（0，2）、（-1，1）两点代入解析式中，解得

故过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=x+2，对应的二元一次方程为x-y+2=0.
因此两个函数所对应的二元一次方程组是
故选择：B
【点睛】
此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于要写出两个函数所对应的二元一次方程组，需先求出两个函数的解析式.
3．（2022·浙江）已知直线y＝(3m+2)x＋2和y＝－3x＋6交于x轴上同一点，m的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．0
【答案】C
【分析】
先求出直线y＝－3x＋6与x轴的交点坐标，然后把此交点代入直线y＝(3m+2)x＋2中求解即可．
【详解】
解：对y＝－3x＋6，当y=0时，－3x＋6=0，解得：x=2，
∴两条直线的交点坐标是（2，0），
把（2，0）代入直线y＝(3m+2)x＋2，得2(3m+2)＋2=0，解得：m=﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求两条直线的交点以及直线与坐标轴的交点等知识，属于常考题型，熟练掌握求解的方法是关键．
4．（2022·浙江九年级专题练习）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
把直线=-5x+3向上平移m个单位后得到y=-5x+3+m，
联立方程得： ，
解得 ，
因为交点在第一象限，
所以，
解得m>1，
故选：B.


二、填空题
5．（2020·浙江）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是____．

【答案】．
【分析】
由两条直线的交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可．
【详解】
解：∵经过
∴
∴
∵直线与直线相交于点
∴方程组的解是：．
故答案是：
【点睛】
本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，明确方程组的解为两函数图象的交点坐标是解题的关键．
6．（2020·浙江八年级期中）已知一次函数与的图象如图所示．

（1）写出关于x，y的方程组的解为________．
（2）若，写出x的取值范围________．
【答案】
【分析】
（1）方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标；
（2）不等式的解就是当一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围．
【详解】
解：（1）方程组的解就是一次函数与的交点坐标的横纵坐标，
由图知，；
（2）不等式的解就是找到图中一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围，
由图知，．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程组和不等式的关系，解题的关键是能够理解方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标，以及利用函数图象解不等式的方法．
7．（2020·浙江）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点D，交轴于点，直线、交于点．

（1）点坐标为________；
（2）若点在轴上，且是以为一腰的等腰三角形，则点坐标为________．
【答案】(，) (，)或(，)或(，)
【分析】
（1）联立两个方程组求解即可
（2）根据题意有以M为顶点和以B为顶点两种情况，分别求解即可
【详解】
解：（1）联立两个方程组得
将①代入②得：
解得：
将代入①得：
∴点坐标为(，)
故答案为：(，)
（2）由得
当x=0时，y=2
故B(，)
以BM为一腰时，有两种情况
当以M为顶点时，设点坐标为(，)
则
解得：
故点坐标为(，)
当以B为顶点时，设点坐标为(，)
∵BM=
若E在B下方
则y=
若E在B上方
则y=
故点坐标为(，)或(，)
故答案为：(，)或(，)或(，)
【点睛】
本题考查两直线相交问题及等腰三角形的性质，熟练掌握等要三角形的定义及性质是解本题的关键
8．（2022·浙江八年级期末）如图，已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线为轴交于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：
①方程组的解为；
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法是______．

【答案】①②④
【分析】
由题意①直线的交点即为该直线组成方程组时，该方程的解；
②通过已知条件，求解直线的未知数，通过判断两直线k的乘积是否为-1，即可；
③由②知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出△ABD的面积；
④求点C关于y轴的对称点，然后连接A，C1，与y轴的交点即为PA+PC的值最小的点；
【详解】
①由于直线的交点即为该直线组成方程组时的解；
∴ 的解，即为两条直线的交点，为：，故①正确；
②将点C的坐标和点B的坐标分别代入直线和；
可得：、、；
∴ 直线和；又两直线的k分别为：和；
又 ；∴ ；
∴ △BCD为直角三角形；故②正确；
③由②知，，，；∴ ，；
∴ △ABD的面积为：；故③不正确；
④由题，对点作关于y轴的对称点，又；
∴ 连接A，C1与y轴的交点即为最小值点；
设过点A，C1的直线为：；
将点A，C1的坐标代入，可得：，；∴过点A，C1的直线为：；
又与y轴的交点坐标为：；∴ 点P的坐标为：；故④正确；
故填：①②④；

【点睛】
本题考查一次函数的性质，关键在理解一次函数交点、垂直和对称问题，需要仔细审题．
9．（第12讲　一次函数的应用及综合问题（讲练）-备战2022年中考数学一轮复习讲练测（浙江））对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
【答案】2
【分析】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解】
解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查一次函数，解题的关键是掌握分段函数的解析式和函数最值的求解方法．

三、解答题
10．（2020·浙江八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点是轴上的一个动点，设.

（1）若的值最小，求的值；
（2）若直线将分割成两个等腰三角形，请求出的值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）5，理由见解析
【分析】
（1）先求出点A点B的坐标，根据轴对称最短确定出点M的位置，然后根据待定系数法求出直线AD的解析式，进而可求出m的值；
（3）分三种情况讨论验证即可.
【详解】
解：（1）解得，
∴A(4，2).
把y=0代入得
，
解得
x=5，
∴B(5，0)，
取B关于y轴的对称点D(-5，0)，连接AD，交y轴于点M，连接BM，则此时MB+MA=AD的值最小.
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵A(4，2)，D(-5，0)，
∴，
解得，
∴，
当x=0时，，
∴m=；

（2）当x=0时，，
∴C(0，10)，
∵A(4，2)，
∴AC=，AO=.
如图1，当MO=MA=m时，
则CM=10-m，
由10-m=m，得
m=5,
∴当m=5时，直线将分割成两个等腰三角形；
如图2，当AM=AO=时，
则My=2Ay=4，
∴M(0，4)，CM=6，
此时CM≠AM，不合题意，舍去；
如图3，当OM=AO=时，
则CM=10-，AM=，
∴ CM≠AM，不合题意，舍去；
综上可知，m=5时，直线将分割成两个等腰三角形.

【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，勾股定理以及分类讨论的数学思想.根据轴对称的性质确定出点M的位置是解（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.
11．（2020·台州市外国语学校九年级月考）如图，直线l1的解析式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．

（1）求直线l2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x﹣6；（2）；（3）点P的坐标为（6，3）
【分析】
（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线l2的解析表达式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点D的坐标，联立直线AB、CD的表达式求出交点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积；
（3）由同底等高的三角形面积相等即可找出点P的纵坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点P的坐标．
【详解】
（1）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b（k≠0），
把A（4，0）、B（3，）代入表达式y＝kx+b，
，解得：，
∴直线l2的解析表达式为y＝x﹣6．
（2）当y＝﹣3x+3＝0时，x＝1，
∴D（1，0）．
联立y＝﹣3x+3和y＝x﹣6，
解得：x＝2，y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝．
（3）∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP与△ADC的面积相等，
∴两三角形高相等．
∵C（2，﹣3），
∴点P的纵坐标为3．
当y＝x﹣6＝3时，x＝6，
∴点P的坐标为（6，3）．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线l2的解析表达式；（2）联立两直线表达式求出交点C的坐标；（3）根据同底等高的三角形面积相等找出点P的纵坐标．
12．（2019·金华市第五中学八年级期中）如图，点A、 B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y=x−3与y轴交于点C， 与x轴交于点D，

（1）求直线AB与CD交点E的坐标；
（2）求四边形OBEC的面积．
【答案】（1）E（2，-2）；（2）4．
【分析】
（1）先求出直线AB的解析式，然后联立，解方程组即可求得点E坐标；
（2），将相关点的坐标转化线段的长度，代入面积公式进行计算即可
【详解】
（1）设直线AB的解析式为：
代入点A（0，2），B（1，0）得：
，解得
故直线AB的解析式为：
联立，解得：
∴点E（2，-2）
（2）∵直线y=x−3与y轴交于点C． 与x轴交于点D．
∴C（0，-3），D（6，0）
又∵B（1,0），E（2，-2）
∴OC=3，OD=6，BD=5，
∴==
【点睛】
本题考查了一次函数解析式的求法，直角坐标系中两直线的交点坐标的计算，及一次函数与几何图形的面积问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．（2020·浙江八年级单元测试）设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点(﹣1，5)，求函数y1的表达式．
（2）已知点P(x1，m)和Q(﹣3，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围．
（3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式．
【答案】（1）；（2）当k＜0时，x1＜﹣3；当k＞0时，x1＞﹣3；（3）2a+b＝0．
【分析】
（1）将点（﹣1，5）代入y1＝kx﹣2k，求得k值，即可得出函数解析式；
（2）根据一次函数的性质，由k值判断函数自变量的大小，即可得出结论；
（3）根据一次函数y1＝kx﹣2k得y1＝k（x﹣2），可得函数图象经过的定点为（2，0），再将定点坐标代入y2＝ax+b即可求出实数a，b满足的关系式．
【详解】
解：（1）∵函数y1的图象经过点（﹣1，5），
∴5＝﹣k﹣2k，
解得k＝，
函数y1的表达式；
（2）当k＜0时，若m＞n，则x1＜﹣3；
当k＞0时，若m＞n，则x1＞﹣3；
（3）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴函数y1的图象经过定点（2，0），
当y2＝ax+b经过（2，0）时，0＝2a+b，即2a+b＝0．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的图象与性质并能准确理解题意进行解答是解题的关键．
14．（2020·浙江翠苑中学八年级月考）已知直线（k，b为常数且），经过点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）若直线是由直线向上平移8个单位得到，求直线，直线和x轴围成图形的面积．
【答案】（1）y=x+3；（2）20．
【分析】
（1）把点A(-4,1)，B(2,4)代入y=kx+b，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线向上平移8个单位得到的直线，联立直线，直线，求交点Q坐标，求出直线，直线与x轴的交点C、D坐标，以CD为底，Q点的纵坐标为高，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）把点A(-4,1)，B(2,4)代入y=kx+b，
，解得，
∴直线l1的函数解析式为：y=x+3；
（2）直线是由直线向上平移8个单位得到，∴y=-2x+8，
∵y=x+3，令y=0，x=-6，
∴直线y=x+3与x轴交于C (-6，0)，
∵y=-2x+8，令y=0，x=4，
∴直线y=-2x+8与x轴交于D (4，0)，
∴CD=4-（-6）=4+6=10
联立直线y=x+3与直线y=-2x+8，
，解得，
图象如图所示：


设直线y=x+3与直线y=-2x+8的交点为Q，则Q(2，4)，
∴直线，直线和x轴围成图形的面积．
【点睛】
本题考查了一次函数图象的交点问题、待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象的平移，解题的关键是熟记性质，数形结合．
15．（2020·浙江）设一次函数，（m，n是常数，且m≠0，m≠n，n>0）
（1）当m=3，n=2时，
①求函数y1，y2图象的交点坐标．
②若y1>y2，求自变量x的取值范围．
（2）在0y2则解得x>5；
（2）∵与y轴交点为（0，），过定点（1，0），
与y轴交点为（0，），同时过定点（-1，0），
∵在0即m+n