2021-2022学年辽宁省沈阳七中八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2021-2022学年辽宁省沈阳七中八年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共14小题，共28分）

1. 若，则下列式子错误的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列式子：；；；其中是分式的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是

A.  B.  C.  D.

5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 若，的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是

A.  B.  C.  D.

8. 在一次绿色环保知识竞赛中，共有道题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，则至少答对多少题，得分才不低于分？设答对题，可列不等式为

A.  B.
C.  D.

9. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

10. 某优秀毕业生向我校赠送本课外书，现用、两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用型纸箱比单独使用型纸箱可少用个；已知每个型纸箱比每个型纸箱可多装本．若设每个型纸箱可以装书本，则根据题意列得方程为

A.  B.
C.  D.

11. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在

A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点

12. 如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为

A.
B.
C.
D.

13. 如图，在中，，，、分别在、上，，且是等腰直角三角形，其中，则的值是

A.
B.
C.
D.

14. 如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：；的值不变；的长不变；四边形的面积不变，其中，正确结论的是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

15. 因式分解：______．
16. 若分式的值为零，则的值为______．
17. 某种商品的进价为元，出售时标价为，后来由于该商品积压商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打______ 折．
18. 如图，已知函数和的图象交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集是______ ．
    
     

19. 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是元，最后剩下件按折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利______元．
20. 如图，中，，，，点是直线上一动点，连接，以为边，在的右侧作等腰直角三角形，且，当点落在某一边的垂直平分线上时，则______．

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

21. 把下列各式因式分解：
    ；
    ；
    ．
    利用数轴解不等式组：．
    解方程．
    先化简：，再选一个自己喜欢的整数代入求值．
22. 某服装店因为换季更新，采购了一批新服装，有、两种款式共件，花费了元，已知种款式单价是元件，种款式的单价是元件．
    种款式的服装采购了______件，种款式的服装采购了______件．
    若种款式售价是元件，种款式的售价是元件．如果另一个服装店也想要采购这两种款式的服装共件，且采购的服装全部售出后所获利润至少元，那么种款式的服装至少采购多少件？
23. 某地对一段长达米的河堤进行加固．在加固米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高，用天完成了全部加固任务．
    原来每天加固河堤多少米？
    若承包商原来每天支付工人工资为元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资______元．
24. 如图，是的平分线．垂直平分于点，于点，于点．
    求证：；
    若，，则______．

25. 如图，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点点与点不重合，连接，以为一边，在的上方作等边，连接并延长交射线于点．
    如图，则______，______；
    如图，当点在点的右侧，的延长线交于点，求证：；
    若线段，设，则点到射线的距离为______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不等式两边都减，不等号的方向不变，正确；
B、减去一个大数小于减去一个小数，错误；
C、大数加大数依然大，正确；
D、不等式两边都除以，不等号的方向不变，正确．
故选B．
看各不等式是加减什么数，或乘除以哪个数得到的，用不用变号．
主要考查不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】

【解析】解：右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
B.是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C.左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
D.左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义即可求出答案．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：下列式子：；；；其中是分式的有；共个．
故选：．
直接根据分式的定义解答即可．
此题考查的是分式的定义，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
 

4.【答案】

【解析】解：．
故选：．
利用完全平方公式判断即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：，
故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算逐一即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：设答对道题，根据题意可得：
，
故选：．
设答对道题，则答错或不答的有道，根据题意可得：答对题的得分答错或不答扣的分数，列出不等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．
 

9.【答案】

【解析】解：


，
故选：．
先算括号内的减法，然后计算括号外的除法，然后化简即可．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

10.【答案】

【解析】解：每个型纸箱比每个型纸箱可多装本，且每个型纸箱可以装书本，
每个型纸箱可以装书本．
依题意得：．
故选：．
由每个型纸箱比每个型纸箱可多装本及每个型纸箱可以装书本，可得出每个型纸箱可以装书本，利用所需纸箱的数量赠送课外书的总数每个纸箱装课外书的数量，结合单独使用型纸箱比单独使用型纸箱可少用个，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，
凉亭选择三条角平分线的交点．
故选：．
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

12.【答案】

【解析】解：作于，如图，
在中，，，，
，
为的角平分线，
，
，
，
解得，
．
故选：．
作于，如图，先根据勾股定理计算出，再利用角平分线的性质得到，进行利用面积法得到，则可求出，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．也考查了角平分线的性质．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，过点作于，

，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
故选D．
先证，由等腰直角三角形的性质可求的长，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图作于，于．
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，故正确，
，
定值，故正确，
，是定值，故正确，
在旋转过程中，是等腰三角形，形状是相似的，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故错误，
故选：．
如图作于，于只要证明≌，≌，即可一一判断
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
先提公因式 ，分解成 ，而 可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解： ．
故答案为 ．   

16.【答案】

【解析】解：由分式的值为零的条件得，，
由，解得或，
由，得，
综上所述，得，
故答案为：．
根据分式的值为零的条件可以求出的值．
若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

17.【答案】

【解析】解：设打了折，
由题意得，，
解得：．
答：至多打折．
故答案为：．
设打了折，用售价折扣进价得出利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
 

18.【答案】

【解析】解：由图知：当直线的图象在直线的上方时，不等式成立；
由于两直线的交点横坐标为：，
观察图象可知，当时，，即不等式的解集为．
故答案为：．
根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

19.【答案】

【解析】解：设第一批购进这种衬衫件，则第二批购进这种衬衫件，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
在这两笔生意中，商厦共盈利元．
故答案为：．
设第一批购进这种衬衫件，则第二批购进这种衬衫件，利用单价总价数量，结合第二批购进的单价比第一批贵了元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值，再利用总利润销售单价销售数量进货总价，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

20.【答案】或

【解析】解：设，
当点在的垂直平分线上时，如图，
过点作于点，过点作于点，作于点，连接，
则，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
≌，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
在中，，
点在的垂直平分线上，
，
，
解得：，
；
当点在的垂直平分线上时，如图，
过点作于点，过点作交的延长线于点，
设是的中点，连接，
则，
由知：是等腰直角三角形，，
在中，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
解得：或舍去，
；
由知，≌，，
即点到的距离为，
，
的垂直平分线与平行且距离为，
故点不可能在的垂直平分线上；
综上所述，或，
故答案为：或．
设，分三种情况：当点在的垂直平分线上时，如图，过点作于点，过点作于点，作于点，连接，可证得≌，运用勾股定理可得：，，建立方程求解即可得出答案；当点在的垂直平分线上时，如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证得≌，再根据，建立方程求解即可得出答案；由知：≌，，即点到的距离为，再由的垂直平分线与平行且距离为，故点不可能在的垂直平分线上．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，综合性较强，有一定难度，运用分类讨论思想是解题关键．
 

21.【答案】解：



；




；



；

，
解不等式，得，
解不等式，得，
在数轴上表示不等式的解集为

所以不等式组的解集是；

，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是；






，
要使分式有意义，必须且且，
解得：不能为，，，
取，
当时，原式．

【解析】先根据平方差公式分解因式，整理后再提取公因式即可；
先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
先根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的加减法则进行计算，根据分式有意义的条件得出不能为，，，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分解因式，解分式方程，解一元一次不等式组和分式的化简求值等知识点，能掌握因式分解的方法特点是解的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解的关键，注意运算顺序．
 

22.【答案】 

【解析】解：设种款式的服装采购了件、种款式的服装采购了件，
根据题意得：，
解得：．
答：种款式的服装采购了件、种款式的服装采购了件．
故答案为：，；
设种款式的服装采购件，则种款式的服装采购件，
则，
解得：，
为正整数，
的最小值为．
答：种款式的服装至少采购件．
设种款式的服装采购了件、种款式的服装采购了件，根据“、两种款式共件，花费了元”列方程组求解可得；
设种款式的服装采购件，则种款式的服装采购件，根据“采购的服装全部售出后所获利润至少元”列不等式，解之可得．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固河堤米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天加固河堤米；
由得：米，
承包商共支付工人工资为：元，
即完成整个工程后承包商共支付工人工资元，
故答案为：．
设原来每天加固河堤米，由题意：某地对一段长达米的河堤进行加固．在加固米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高，用天完成了全部加固任务．列出分式方程，解方程即可；
由题意：承包商原来每天支付工人工资为元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了，列式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】

【解析】证明：连接，，

垂直平分，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：设，则，，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可；
根据，得出方程解答即可．
此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

25.【答案】    或

【解析】解：如图，，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
故答案为：，．
如图，过点作，交的延长线于点，则，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
作于点，则，
，，，，
，，
，
，
，
，
如图，点在点的右侧，作于，则，
，
，
，，
，
，
；
如图，点在点左侧，作于，则，
，
，
，，
，
，
，
综上所述，点到射线的距离为或，
故答案为：或．
由，得，由和都是等边三角形得，，，所以，即可证明≌，得，即可求得，；
过点作，交的延长线于点，则，，先证明，则，再证明≌，得；
作于点，则，由，，，，得，，则，根据勾股定理列方程求得，则，再分两种情况求点到的距离，一是点在点的右侧，作于，则，因为，所以，此时，，则，所以，即可根据勾股定理求出的长；二是点在点左侧，作于，则，此时，，则，所以，即可根据勾股定理求出的长．
此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．