高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀第2课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀第2课时复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为 ( C )
A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1
B．eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1
C．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1
D．以上都不对
[解析] 当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4eq \r(3)，双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3eq \r(3)，双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 ( C )
A．2B．2eq \r(2)
C．4D．4eq \r(2)
[解析] 双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1，∴a＝2，∴实轴长为2a＝4.
3．若a>1，则双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是 ( C )
A．(eq \r(2)，＋∞)B．(eq \r(2)，2)
C．(1，eq \r(2))D．(1,2)
[解析] 由题意得双曲线的离心率e＝eq \f(\r(a2＋1),a).
∴e2＝eq \f(a2＋1,a2)＝1＋eq \f(1,a2).
∵a>1，∴02
[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．
双曲线离心率e＝eq \r(1＋m)>eq \r(2)，所以m>1，选C．
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))0，b>0)和椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 __.
[解析] 椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，
∴离心率e1＝eq \f(\r(7),4)，焦点(±eq \r(7)，0)，
∴双曲线的离心率e2＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2)，焦点坐标为(±eq \r(7)，0)，
∴c＝eq \r(7)，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，
∴双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1.
2．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，其斜率为－eq \r(3)，求双曲线的离心率．
[解析] (1)由题意，eq \f(b,a)＝1，c＝2，a2＋b2＝c2，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)由题意，设A(m，n)，则kOA＝eq \f(\r(3),3)，从而n＝eq \f(\r(3),3)m，m2＋n2＝c2，∴A(eq \f(\r(3),2)c，eq \f(c,2))，
将A(eq \f(\r(3),2)c，eq \f(c,2))代入双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1得eq \f(3c2,4a2)－eq \f(c2,4b2)＝1，
∴c2(3b2－a2)＝4a2b2，
又c2＝a2＋b2，∴(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，
∴3b4－2a2b2－a4＝0，
∴3(eq \f(b,a))4－2(eq \f(b,a))2－1＝0，
∴eq \f(b2,a2)＝1，∴e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝2，∴e＝eq \r(2).