2022年新高考数学压轴小题专项训练

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专题6直线与圆压轴小题
一、单选题
1．（2021·江西南昌·高三开学考试（理））已知函数，若，若点不可能在曲线C上，则曲线C的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将函数变形在R上单调递增，并且关于点对称，结合已知条件可知，说明曲线C的图像恒在直线的区域，再判断直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】
函数，显然函数在R上单调递增，
又，即
所以关于点成中心对称，且
故，则，
点不可能在曲线C上，说明曲线C的图像恒在直线的区域，
对于A，表示圆心，半径的圆，圆心在直线上，即直线与圆相交，不符合题意；
对于B，表示圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，即直线与圆相交，不符合题意；
对于C，表示圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，即直线与圆相切，并且圆的图像恒在直线下方，符合题意；
对于D，表示圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，即直线与圆相交，不符合题意；
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的单调性，对称性的应用，及直线与圆的位置关系，解题的关键是利用函数的对称性，推出，说明曲线C的图像恒在直线的区域，考查学生的逻辑推理能力，属于难题.
2．（2021·浙江省宁海中学模拟预测）已知平面非零向量满足，则对于任意的使得（ ）
A．恒有解 B．恒有解
C．恒无解 D．恒无解
【答案】B
【分析】
设，其中，记
则有，即，然后分，，三种情况讨论，再根据直线是过点的直线与圆锥曲线的两个不同的交点和点在以为直径的圆上，分析圆与相应准线的位置关系，即可求解.
【详解】
解：设，其中，记
则有，即
若，则点的轨迹是拋物线，方程为E：，点恰为抛物线的焦点，
则是过点的直线与抛物线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，
此时.
若，则点的轨迹是椭圆，方程为E：，
点为椭圆E的左焦点，轴是椭圆的左准线，是过点的直线与椭圆的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相离，故
若，则点的轨迹是双曲线，方程为E：，
点为双曲线的右焦点，轴是双曲线的右准线，是过点的直线与双曲线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相交，故可正，可负，可零.
所以，当时，恒有，故A错误；
当时，，与均有解，故错误；
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：利用坐标法，设，其中，记则有，即，然后分，，三种情况讨论，将原问题转化为判断圆与准线的位置关系，从而解决问题.
3．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关于y轴对称；②对于任意，；③当时，；④．若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合①②可知是周期为2的函数，再结合④可知是周期为的函数，结合③作出在上的图像，然后利用数形结合即可求解.
【详解】
因为函数的图象关于y轴对称，所以为偶函数，即，
又因为对于任意，，所以，
从而，即是周期为2的函数，
因为，则图像是的图像的横坐标缩短为原来的得到，
故也是偶函数，且周期为，
结合当时，，可作出在的图像以及直线的图像，如下图所示：

当时，易知，即，则直线的斜率，
过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，
则只需，即直线l斜率k的取值范围是.
故选：A.
4．（2021·全国·高三专题练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由可得，由正弦定理得出，再根据原点到直线的距离小于等于4即可求出k的范围.
【详解】
设，则，
整理可得，故，
在中，，
则，
设原点到直线的距离为，则需满足，
，解得或.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出，利用原点到直线的距离小于等于4求解.
5．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由平面几何知识可知，当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点，再由切割线定理可求得点的横坐标.
【详解】
当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点.
易得过、两点的直线方程为，其与轴交点为，易得，，由切割线定理得，所以，进而可得，点的横坐标为3.
故选：C.

【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是确定点的位置.
6．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（理））已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】
根据题意求得，得到，设过点与圆相切直线的斜率为，得到切线方程，利用，结合韦达定理，求得，联立方程组 ，取得，得到，
结合，列出方程，即可求解.
【详解】
由抛物线的焦点到准线的距离为，可得，
所以抛物线的方程为，
又由，可得圆心坐标为，半径，
设过点与圆相切的直线的斜率为，
可得方程为，即，即，
则圆心到直线的距离为，
整理得，可得，
联立方程组 ，可得，
即，所以，
所以，
因为直线的倾斜角为，所以
可得，
解得或.
故选：C.

7．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将变形为，从而可得，设，由向量减法及数量积可知的终点在以为圆心，以为半径的圆周上，结合圆的性质可得答案.
【详解】
由得，．
不妨设，则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上．
因为与是单位向量，所以的最大值是与圆心距离加，
即，最小值是与圆心距离减，即，故和为.

故选：A．
8．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））已知是矩形，且满足.其所在平面内点满足：，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
建立平面直角坐标系，根据题意得到点M,N的轨迹方程，然后作出图形，进而结合数量积的定义和坐标运算得到答案.
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系，则
设，由，所以，化简得：
，记为圆，
设，由，所以，化简得：
，记为圆,即为，
两圆圆心距为：，半径和为：，
所以，则两圆相离，

如图所示，对圆，令y=0，得：，
令圆，令y=0，得：，
所以，，又，
结合平面向量数量积的定义可知，的最小值为，
的最大值为.
故选：B.
9．（2021·全国·高三专题练习）已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
先利用圆的方程和弦长判定为等边三角形，设出符合条件的一条直线，再利用平面向量共线得到点的坐标，再利用数量积的坐标运算进行求解.
【详解】
动直线与圆：相交于，两点，
且满足，则为等边三角形，
所以不妨设动直线为，
根据题意可得，，
∵是线段的中点，∴，
设，∵，
∴，
∴，
解得，∴，
∴.
故选：A．

10．（2021·全国·高三月考）已知函数是定义域为的偶函数，，当时，，则函数与函数交点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．14
【答案】D
【分析】
由奇偶性可知函数是偶函数，对称性可知关于直线对称，周期性可知的周期为2，于是可以得出只需要知道时和交点的个数便可，又根据直线和圆的关系判断出时 交点的个数，便可求出在定义域为上和的交点个数.
【详解】
解：由题意得
∵是偶函数，且当时，
∴当时，设，整理得
又∵
∴关于直线对称，的周期为2
故当时，，即，
在时，，即，
∵与均为偶函数
∵直线过点，且点也在上，当以点为圆心，1为半径的部分圆与直线相切时，满足，解得（显然不符合题意）
∴在时，有7个交点
∴共14个交点
故选：D．
11．（2021·陕西·榆林市第十中学高三月考（理））已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程.
【详解】
由，则动圆心的轨迹方程为.
为圆上的动点，又，
∴，
∵，，，
∴，
∴当最小时，最小，当最大时，最大.
当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为，
∴外接圆方程为，即.

故选：A
12．（2021·山东青岛·高三开学考试）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先画出函数的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，求出此角即可．
【详解】
解：由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象,
这是一个圆弧AB，圆心为,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故选：B.


13．（2021·山东肥城·模拟预测）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值.
【详解】
由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点，所以，
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆要包括圆，
点到直线的距离为，
所以长度的最小值为，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值.
14．（2021·北京·模拟预测）在平面直坐标系中，点，定义为点之间的极距，已知点是直线上的动点，已知点是圆上的动点，则P，Q两点之间距离最小时，其极距为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
先分析出极距的含义，就是直角三角形中较小的直角边的大小.先用几何法求出PQ的最小值，再求P，Q两点之间的极距.
【详解】

如图示：在平面直角坐标系内，，作出直角三角形,则
由极距的定义知，就是直角三角形中较小的直角边的大小.
因为点是直线上的动点，是圆上的动点，要使PQ最小，
则，最小，此时.
设直线l交x轴于A，交y轴于B,因为直线l的斜率为-2，所以

过P作轴，过Q作轴，则,所以在直角三角形中，P，Q两点之间的极距即为RQ,
设，则,所以，
解得：，即，所以P，Q两点之间的距离最小时的极距为
故选：C
【点睛】
（1）数学中的新定义题目解题策略：
①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
（2）距离的最值的计算方法有两类：
①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.
15．（2021·全国·高三专题练习（理））已知曲线在点处的切线与圆也相切，当半径最大时圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先利用导数的几何意义求得切线的方程，接着利用圆与直线相切得到，整理化简之后，利用基本不等式求出r的最大值，进而求得t的值，最后写出圆的方程.
【详解】
因为，所以在处的取值为，
所以曲线在点处的切线的方程为： ，
即，
因为切线与圆也相切，
所以 ，
，
当且仅当时，有最大值，
此时圆的方程为：，
故选：D
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
16．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）定义集合，，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，则由围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积一定相等
D．满足且的点构成区域的面积为
【答案】C
【分析】
首先确定集合和所表示的区域，再数形结合判断选项是否正确即可.
【详解】
对于集合，
原点到直线的距离为，
所以集合M表示圆上所有点的切线上的点，
对于集合，
当时，表示图中三角形AOD区域;
当时，表示图中三角形AOB区域;
当时，表示图中三角形BOC区域;
当时，表示图中三角形COD区域;
所以集合表示图中ABCD区域，

对于A选项，由图可知，不是空集，故A错；
对于B选项，表示图中圆内部挖去ABCD区域剩下的部分，不是空集，故B错；
对于C选项，表示在点处的切线，
表示在点处的切线，表示在点处的切线，三切点均在圆上，易知三切点构成正三角形，由对称性可知C正确；
对于D选项，由B选项知，且则P点在圆内部挖去ABCD区域剩下的区域内，面积为，故D错；
故选C.
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系问题，在解题的过程中，要善于数形结合，代数几何化之后，可以辅助我们解题，达到事半功倍的效果.
17．（2021·重庆八中模拟预测）已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】
设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值．
【详解】
设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以，
所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为，
又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点，
又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，
所以，所以的最小值为，
故选：A．

【点睛】
方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
18．（2021·全国·高三专题练习）若实数满足，则最大值是（ ）
A．4 B．18 C．20 D．24
【答案】C
【分析】
当时，解得；当，令，可得，设，，则问题等价于和有公共点，观察图形可求解.
【详解】
当时，解得，符合题意；
当时，令，则，又，则，即，
则原方程可化为，
设，，，
则表示斜率为的直线，表示以原点为圆心，半径为的四分之一圆，
则问题等价于和有公共点，观察图形可知，

当直线与圆相切时，由，解得，
当直线过点时，，解得，
因此，要使直线与圆有公共点，，
综上，，故的最大值为20.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：解题得关键是令，将问题转化为直线与圆有公共点.
19．（2021·全国·高三专题练习（理））设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
依题画出满足题意的图形，因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.
【详解】
，，即圆M：的上半部分，如图：

圆M的圆心坐标为，半径为2，圆N的圆心坐标为，半径为r，
因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，
所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，
①外切：，d为圆心距，
，此时，
②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径，
圆（3）处的半径，
所以，
综上，正数的所有取值为或.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题的解题关键是由因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，进而分析计算.

二、多选题
20．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）曼哈顿距离(或出租车几何)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点和点的曼哈顿距离为：.若点为上一动点，为直线上一动点，设为，两点的曼哈顿距离的最小值，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
直线l恒过定点(2，-4)，画出图形，对k分类讨论并借助导数求出的取值范围即可作答.
【详解】
直线恒过定点A(2，-4)，
由点(0，0)到直线的距离得，即直线与圆相离，
(1)当l的斜率k满足|k|