数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课后作业题

1.4 充分、必要条件（精炼）

【题组一  命题及其判断】

1．（2020·黑龙江道里。哈尔滨三中高二期末（文））下列说法正确的是（    ）

A．命题“若x2＝1，则x＝1”为真命题

B．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆命题为假命题

C．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”

D．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

【答案】C

【解析】若x2＝1，则，故A选项不正确；

“若x2＝1，则x＝1”的逆命题为“若x＝1，则x2＝1”且该命题是真命题，故B选项不正确；

命题“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”，故C选项正确；

命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若，则x≠1”，故D选项不正确，

故选：C.

2．（2019·黑龙江大庆实验中学高二期末）已知原命题：已知，若，则，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为(　 　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题原命题：已知，若，则，为真命题，所以逆否命题也是真命题；逆命题为：已知，若，则，为真命题，所以否命题也是真命题。

故选D.

3．（2019·阿城区第二中学高二期中（文））命题“若，则”的逆否命题是（   ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【解析】由逆否命题的定义可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”故答案选A

4．对任意的实数，在下列命题中的真命题是（   ）

A．“”是“”的必要不充分条件 

B．“”是“”的必要不充分条件

C．“”是“”的充分不必要条件 

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】B

【解析】因为实数不确定，“”与“”既不充分也不必要，又“”

得“”是“”的必要不充分条件，所以正确选项为B.

【题组二  充分、必要条件】

1．下列哪一项是“”的必要条件（   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，“选项”是“”的必要条件，表示“”推出“选项”，所以正确选项为D.

2．（北师大版新教材2.1必要条件与充分条件）如果命题“”是真命题，那么①是的充分条件 ②是的必要条件 ③是的充分条件 ④是的必要条件，其中一定正确的是（   )

A．①③ B．①④     C．②③ D．②④

【答案】B

【解析】根据必要条件和充分条件的含义，为真，则是的充分条件，是的必要条件，所以①④正确，所以正确选项为B.

3．已知，，则是的（   )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由已知，反之不成立，得是的充分不必要条件，所以正确选项为A.

4．若是的充分不必要条件，则下列判断正确的是（ ）

A．是的必要不充分条件      B．是的必要不充分条件

C．是的必要不充分条件       D．是的必要不充分条件

【答案】C

【解析】由是的充分不必要条件可知.由互为逆否命题的等价性，可知.所以是的必要不充分条件.故选：C.

5．（湖南省怀化市2020届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题

）除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（    ）.

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件故选：B

6．（2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题）已知，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意或或，

由“或”不能推出“”；

由“”可推出“或”；

故是的必要不充分条件.故选：B.

【题组三 求参数】

1.（上海市格致中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题）

若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】因为“”是“”的充分不必要条件， ∴． 故答案为：．

2．已知“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是___________.

【答案】或

【解析】由已知“”是“”的必要不充分条件，则，，所以或，得或，所以答案为或.

3．已知，，如果的充分条件是，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】“的充分条件是”，即是的充分条件，得，即，得，所以答案为“”.

4．已知集合A＝{x|a+1≤x≤2a+3}，B＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}．若x∈A是x∈B的充分条件，则实数a的取值范围是_______

【答案】

【解析】B＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}，

∵若x∈A是x∈B的充分条件，

∴A⊆B，

若A＝∅，则2a+3＜a+1，即a＜﹣2时，满足题意；

若A≠∅，则满足，

即，此时﹣2≤a≤．

综上a≤．

故答案为

5.．（河南省2019-2020学年高三核心模拟卷）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．

【答案】(0，2]

【解析】∵，∴，即；

∵，∴或，

∴，

∵是的必要不充分条件，

∴，解得，

∴所求实数的取值范围是(0，2]．

故答案为：(0，2]

6．（2019版导学教程一轮复习数学（人教版））已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}．

∵p是q的充分不必要条件，∴M⫋N，∴，解得0<a<3.故填

7．（山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试）已知,,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围       .

【答案】

【解析】解出，

因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集.

所以故答案为：

8．命题；命题

（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值

【答案】（1）；（2），。

【解析】（1）若在上恒成立，

则，

所以有，

所以实数的范围为；

（2）或，

根据条件的解集是，

即方程的二根为2和3，

根据韦达定理有，

所以，。

9．已知非空集合，集合，命题．命题．

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）当实数为何值时，是的充要条件．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）解不等式，即，解得，则.

由于是的充分不必要条件，则，，

①当时，即当或时，，不合题意；

②当时，即当或时，，

，则，解得，

又当，，不合乎题意.所以；

③当时，即当时，，则，此时.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）由于是的充要条件，则，

所以，和是方程的两根，

由韦达定理得，解得.

【题组四 充分性、必要性的证明】

1．已知，求证：的充要条件是．

【答案】见解析

【解析】（1）证明必要性：

因为，

所以．

所以

．

（2）证明充分性：

因为，

即，

又，

所以且．

因为，

所以，

即．

综上可得当时，的充要条件是．

2．求证：关于的方程有一个根为的充要条件是．

【答案】证明见解析

【解析】充分性：，，

代入方程得，即．

关于的方程有一个根为；

必要性：方程有一个根为，满足方程，

，即．

故关于的方程有一个根为的充要条件是．

3．已知的三边为、、，求证：二次方程与有一个公共根的充要条件是.

【答案】见解析

【解析】必要性：设方程与的公共的公共根为，

则，两式相加得，解得，（舍）.

将代入，得，

整理得，所以，；

充分性：当时，则，

于是，

该方程有两根，.

同理，

该方程亦有两根，.

显然，两方程有公共根，

故方程与有公共根的充要条件为.