人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件学案，共5页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。



【问题探究】
在如图所示电路图中，闭合开关K1是灯泡L亮的什么条件？
题型 1充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数．
题后师说
判定充要条件常用方法
跟踪训练1 (1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)下列命题中为假命题的是( )
A．“x>4”是“x>5”的必要不充分条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的既不充分也不必要条件
C．“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac>0”
D．若集合A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件
题型 2充要条件的证明
例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
学霸笔记：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是证明充分性；二是证明必要性．
跟踪训练2 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型 3充分不必要、必要不充分、充要条件的应用
例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
一题多变 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
题后师说
应用充分不必要、必要不充分及充要条件
求参数值(范围)的一般步骤
跟踪训练3 请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件．这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由．
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
随堂练习
1.“x∈Q”是“x∈N”的( )
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设 “－1A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a∈R，则“a2>4”是“a≥2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若“不等式x－m<1成立”的充要条件为“x<2”，则实数m的值为________．
课堂小结
1.对充要条件概念的理解．
2．充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．
3．充分不必要、必要不充分、充要条件的应用．
1．4.2 充要条件
问题探究 提示：闭合开关K1可使灯泡L亮；而灯泡L亮，开关K1一定是闭合的．因此，闭合开关K1是灯泡L亮的充要条件．
例1 解析：(1)当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要条件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故pD⇒/q；又是正数，但不是自然数，故qD⇒/p.故p是q的既不充分也不必要条件．
跟踪训练1 解析：(1)当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形，当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，所以三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件，故选C.
(2)“x>4”不能推出“x>5”，故充分性不成立；“x>5”则一定有“x>4”，故必要性成立，所以“x>4”是“x>5”的必要不充分条件，所以A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac≥0，故C错误；当集合A＝B时，应为充要条件，故D错误．故选BCD.
答案：(1)C (2)BCD
例2 证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
跟踪训练2 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
例3 解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0一题多变 解析：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
跟踪训练3 解析：选①，则A是B的真子集，则1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取)，
又a>0，解得a≥3，
∴存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}．
选②，则B是A的真子集，则1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取)，
又a>0，解得0∴存在a，a的取值集合M＝{a|0选③，则A＝B，则1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解．
∴不存在满足条件的a.
[随堂练习]
1．解析：因为x∈Q不能推出x∈N，且x∈N可以推出x∈Q，所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件，故选A.
答案：A
2．解析：因为|x|<1⇔－1答案：A
3．解析：a2>4⇔a>2或a<－2，因此a2>4是a≥2的既不充分也不必要条件，故选D.
答案：D
4．解析：解不等式x－m<1得x答案：1