人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件学案

充要条件

主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．

[问题]　(1)张三为什么走了？

(2)李四为什么走了？

知识点　充要条件

1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

“p是q的充要条件”也可以说成“p与q是等价的”“p成立当且仅当q成立”“q成立当且仅当p成立”．　　　　

1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

2．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案：A

3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．

答案：充要

[例1]　(链接教科书第21页例3)(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为(　　)

A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0 B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c

C．p：x＞5，q：x＞10  D．p：a＞b≥0，q：＞

(2)设A，B，U是三个集合，且A⊆U，B⊆U，则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

[解析]　(1)对于A选项，p⇒q，但qp，故p不是q的充要条件；对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；对于C选项，p q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．故选B、D.

(2)∵(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，

∴“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件，故选C.

[答案]　(1)BD　(2)C

充要条件的两个判断方法

(1)定义法：若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

(2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A＝B，则p是q的充要条件．　　　　

[跟踪训练]

1．以下选项中，p是q的充要条件的是(　　)

A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5

B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b

C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形

D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解

解析：选D　对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件，故选D.

2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．

(1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件．

(2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件．

(3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件．

[例2]　(链接教科书第22页例4)证明：如图梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD.

[证明]　(1)必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，

又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD.

(2)充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.

∵AD∥BE，DE∥AC，

∴四边形ACED是平行四边形．

∴DE＝AC.

∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1.

又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2.

在△ABC和△DCB中，

∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC.

∴梯形ABCD为等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD.

充要条件的证明策略

(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．

[注意]　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．　　　　

[跟踪训练]

求证：“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2”的充要条件是“4a＋2b＋c＝0”．

证明：①先证明必要性：

因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，把x＝2代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得4a＋2b＋c＝0，所以必要性成立．

②再证明充分性：

因为4a＋2b＋c＝0，所以c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，所以充分性成立．

综上，“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2”的充要条件是“4a＋2b＋c＝0”．

[例3]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有或

解得m≤3.

又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．

[母题探究]

1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.

所以或

解得m≥9，

即实数m的取值范围是{m|m≥9}．

2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

若p是q的充要条件，则方程组无解．

故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　　　

[跟踪训练]

已知a＞0，设p：－a≤x≤3a；q：－1＜x＜6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|1＜a＜2}  B．{a|1≤a≤2}

C．{a|0＜a＜1}  D．{a|0＜a≤2}

解析：选C　因p是q的充分不必要条件，即解得0<a<1.故选C.

1．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C　由q：“x－2＝”，解得x＝1(舍去)或x＝2，

由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．

所以p是q的充要条件，故选C.

2．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．

解析：函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－＝1，所以m＝－2.

答案：m＝－2

3．下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；

(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；

(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．

解：(1)p⇔q，所以p是q的充要条件．

(2)⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此p q，所以p不是q的充要条件．

(3)取A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝∅，但A与B均不为空集，因此，p q，所以p不是q的充要条件．