人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第二课时学案

第2课时　集合的全集、补集

[课程目标] 1.理解全集和补集的含义，会求给定子集的补集；2.能够利用集合的补集的性质解决简单的参数问题．

知识点一　全集

1．定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的__所有元素__，那么就称这个集合为全集．

2．记法：全集通常记作__U__．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)全集一定包括任何一个元素．(　×　)

(2)只有实数集R才可以作为全集．(　×　)

(3)为了研究集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，2，3}，C＝{1，3，5}之间的关系，要从中选一个集合作为全集，这个集合是A.(　√　)

【解析】 (1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．

(2)研究的问题并不一定是实数集，也有可能为整数集、自然数集或有理数集等．

(3)根据全集的定义知应选集合A作为全集．

知识点二　补集

　　[研读]∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．补集是相对于全集而言的，全集不同，补集也不同，即集合A在不同的全集中所求得的补集是不同的．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)一个集合的补集一定含有元素．(　×　)

(2)集合∁AC与集合∁BC相等．(　×　)

(3)(∁UA)∪A＝U.(　√　)

(4)(∁UA)∩A＝∅.(　√　)

(5)∁U∅＝U.(　√　)

【解析】 (1)因为全集的补集是空集，即∁UU＝∅，所以这个说法错误．

(2)当A＝B时，二者相等，否则不相等．

根据补集的定义知，(3)(4)(5)中等式成立．

 若全集M＝{－1，0，1，2，3}，N＝{x|x2＝1，x∈Z}，则∁MN等于(　B　)

A．∅　　　　　　　　B．{0，2，3}

C．{－1，1}    D．{0，1，2，3}

【解析】 因为M＝{－1，0，1，2，3}，N＝{x|x2＝1，x∈Z}＝{－1，1}，根据补集的定义，得∁MN＝{0，2，3}．

活学活用

已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{b，c，d}，B＝{c，e}，则(∁UA)∪B等于(　C　)

A．{b，c，e}    B．{c，d，e}

C．{a，c，e}    D．{a，c，d，e}

【解析】 由U＝{a，b，c，d，e}，A＝{b，c，d}，得∁UA＝{a，e}，又B＝{c，e}，所以(∁UA)∪B＝{a，c，e}．

 若集合S＝，AS，BS，且A∩B＝，(∁SB)∩A＝，(∁SA)∩(∁SB)＝，求集合A和B.

解：由题意利用Venn图可得：A＝，B＝.

活学活用

已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，∩，A∩，∪B.

解：A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，

又∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}，

所以(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}，

(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．

[规律方法]

解答此类问题的关键在于准确使用Venn图表示集合，并熟悉几种常见运算的对应图形，此外，还要熟悉集合的基本运算．

 若全集U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋4，4}，∁UA＝{7}，则实数a＝__－2__．

【解析】 因为∁UA＝{7}，所以7∈U且7∉A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{4，7}，与7∉A矛盾，当a＝－2时满足题意，所以a＝－2.

活学活用

设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝__－3__．

【解析】 因为U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}．所以0，3是方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3.

 已知集合A＝{x|x>a2＋1或x<a}，B＝{x|2≤x≤4}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为__{a|－<a<或a>2}__．

解：∵(a2＋1)－a＝＋>0，∴a2＋1>a恒成立．先考虑A∩B＝∅时实数a的取值范围，

由A∩B＝∅可得：⇒⇒a≤－或≤a≤2.所以当A∩B≠∅时，实数a的取值范围为{a|－<a<或a>2}．

活学活用

已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x<0，x∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

解：设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，

解得U＝.

若A∩B＝∅，则方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负，

则有解得m≥.

∵关于U的补集为{m|m≤－1}，

∴实数m的取值范围为{m|m≤－1}．

[规律方法]

在求解含参的不等式和方程等问题时，如果问题的正面包含较多的情况，我们可以考虑补集的思想，定义一个全集，然后再从全集中求出问题的反面，进而通过取补集，使得原问题得解．

 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，则实数m的取值范围是__{m|m≥2}__．

【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．

【迁移探究1】 将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围是__{m|m<2}__．

【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.所以m的取值范围是{m|m<2}．

【迁移探究2】 将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围是__{m|m≥2}__．

【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}.又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.所以m的取值范围是{m|m≥2}．

[规律方法]

由集合的补集求解参数的问题．

(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合相关知识求解．

(2)如果所给集合是无限集，与集合的交集、并集、补集运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．

活学活用

已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}，若(∁RA)∩B＝B，则实数m的取值范围是__{m|m≤－11或m≥3}__．

【解析】 ∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，由(∁RA)∩B＝B，得B⊆(∁RA)，∴m＋9≤－2或m≥3.故m的取值范围是{m|m≤－11或m≥3}.

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则∁UA＝(　D　)

A． {x|x<0或x>4}　　B． {x|x≤0或x>4}

C． {x|x≤0或x≥4}    D．{x|x<0或x≥4}

【解析】 因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，

所以∁UA＝{x|x<0或x≥4}．

2．已知全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩(∁UN)＝{2，4}，则N＝(　B　)

A．{1，2，3}    B．{1，3，5}

C．{1，4，5}    D．{2，3，4}

【解析】 因为M∩(∁UN)＝{2，4}，所以元素2，4是∁UN中的元素，即2，4一定不是N中的元素，故选项A，C，D错误．故选B.

3．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝(　A　)

A．{x|x<－3或x＝5}

B．{x|x<－3}

C．{x|－3<x<5}

D．{x|x<5}

【解析】 将集合U和集合A分别表示在数轴上(图略)，由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．

4．已知全集U＝{2，5，8}，且∁UA＝{2}，则集合A的真子集有__3__个．

【解析】 因为U＝{2，5，8}，∁UA＝{2}，所以A＝{5，8}，A的真子集为{5}，{8}，∅，共3个．

5．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x>4或x<3}，则a＋b＝__7__．

【解析】 因为∁UA＝{x|x>4或x<3}，所以A＝{x|3≤x≤4}，所以a＝3，b＝4，所以a＋b＝7.

6．某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中只参加数学、物理两科的有10人，只参加物理、化学两科的有7人，只参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，则全班共有__43__人．

【解析】 设参加数、理、化三科竞赛的人组成集合A，B，C，如图所示，则全班人数为2＋4＋5＋10＋7＋11＋4＝43.