人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案设计，共9页。
等式性质与不等式性质[课程目标] 1.了解等式的性质；2.掌握不等式的基本性质；3.能用不等式的基本性质解决一些简单问题． 知识点一　等式的性质 性质文字表述性质内容注意1对称性a＝b⇔b＝a⇔2传递性a＝b，b＝c⇒a＝c⇒3可加、减性a＝b⇔a±c＝b±c⇔4可乘性a＝b⇒ac＝bc⇒5可除性a＝b，c≠0⇒＝⇒　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)由3a－2＝2b，得3a＝2b＋2.(　√　)(2)由－1＝2y－3，得x－1＝4y－6.(　×　)(3)由＝，得x－y＝2a＋b.(　×　)(4)x－2＝4x＋7，得x＝－3.(　√　) 知识点二　不等式的性质 性质文字表述性质内容注意1对称性a＞b⇔b＜a⇔2传递性a＞b，b＞c⇒a＞c⇒3可加性a＞b⇔a＋c＞b＋c⇔4可乘性  a＞b，c＞0⇒ac＞bc   a＞b，c＜0⇒ac＜bcc的符号   5同向可加性a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d同向6同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd同向7可乘方性a＞b＞0，那么an>bn(n∈N，n≥2)同正　　[研读]将不等式的性质与等式的性质进行比较，可以加深对不等式的理解．性质4、性质6、性质7强调数或式的符号，性质3、性质5表明不等式只能同向相加，不能同向相减． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若a>b，则ac>bc一定成立．(　×　)(2)若a－c<b－c，则a<b.(　√　)(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　×　)(4)若a>b，c>d，则>.(　×　)【解析】 (1)由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的．(2)在不等式a－c<b－c两边同时加上c，可得a<b，所以此说法正确．(3)取a＝4，c＝5，b＝7，d＝1，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．(4)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但>不成立．所以此说法错误．  教材拓展已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.[规律方法]作差比较法比较两个数(式)大小的步骤：(1)作差：对要比较大小的两个数(或式)作差．(2)变形：对差进行变形，常见的变形技巧是：因式分解，配方．(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．(4)作出结论．  活学活用设x，y∈R，比较x2＋y2与xy＋x＋y－1的大小．解：x2＋y2－(xy＋x＋y－1)＝[(x2－2xy＋y2)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]＝[(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0，∴x2＋y2≥xy＋x＋y－1. 已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.证明： (a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)＝a2(b－c)－(b2－c2)a＋(b－c)bc＝(b－c)[a2－(b＋c)a＋bc]＝(a－b)(b－c)(a－c)>0，所以a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2. 活学活用设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解：5x2＋y2＋z2－＝(z2－2z＋1)＋(y2－2xy＋x2)＋(4x2－4x＋1)＝(z－1)2＋(y－x)2＋(2x－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2. 若a，b，c为实数，判断下列命题的真假：(1)若a>b，则ac<bc；(2)若a>b，ab≠0，则<；(3)若a<b<0，则a2>ab>b2；(4)若c>a>b>0，则>.解：(1)因为c可以是正数、负数或零，不等式两边都乘c，所以ac与bc的大小关系不确定，所以为假命题．(2)当a>0>b时，不等式不成立，所以为假命题．(3)由⇒a2>ab，又⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，所以为真命题．(4)因为a>b>0，所以－a<－b，所以c－a<c－b.又因为c>a>b>0，所以>0.在不等式c－a<c－b两边同乘，得>>0，又a>b>0，所以>，所以为真命题． 活学活用已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　C　)A．⇒＞　　B．＞⇒a＞bC．⇒＞    D．⇒＞【解析】 对于A，若a＞b＞0，c＜0，d＞0，有＜，故A错；对于B，当c<0时，有a＜b，故B错；对于C，由a3＞b3⇒a＞b，又ab＜0，所以＞，故C正确；对于D，若a＝2，b＝1，满足a2＞b2，ab＞0，但＜，故D错． 已知10＜a＜30，15＜b＜20，则3a－b的取值范围是__10<3a－b<75__．【解析】 依题意，30<3a<90，－20<－b<－15，所以30－20<3a－b<90－15，即10<3a－b<75，所以3a－b的取值范围是10<3a－b<75.【迁移探究1】在本例的前提下，a(b－10)的取值范围是__50<a(b－10)<300__； 的取值范围是__<<2__．【解析】 因为10＜a＜30，15＜b＜20，5<b－10<10，所以10×5<a(b－10)<30×10，即50<a(b－10)<300.又<<，所以<<，即<<2，所以a(b－10)的取值范围是50<a(b－10)<300，的取值范围是<<2.【迁移探究2】 将本例的条件变为“10<a＋b<30，15<a－b<20”，求3a－b的取值范围．解：令a＋b＝m，a－b＝n，则10<m<30，15<n<20，由a＋b＝m，a－b＝n，得a＝，b＝，所以3a－b＝－＝m＋2n.而10<m<30，15<n<20，所以40<m＋2n<70，即40<3a－b<70.[规律方法]利用不等式的性质求参数取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质求解．切记想当然，以免出现错误，如两个不等式相减，不等式两边同乘(或除以)一个实数，会导致错误结果． 活学活用已知－≤x＜y≤，试求的取值范围．解：因为－≤x＜y≤，所以－≤<，－<≤，所以－≤－<，所以－≤<. 又因为x＜y，所以<0，故－≤<0. 已知12<a<60，15<b<36，求，的取值范围．解：由12<a<60，15<b<36⇒<<4.记＝t⇒<t<4，所以＝＝1－，所以－<1－<，所以－<<. 活学活用已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则的取值范围是__－2<<－__．【解析】 ⇒a>0，⇒a>b＝－a－c>c⇒⇒－2<<－.1．若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是(　A　)A．a＝b    B．ma－3＝mb－3C． －ma＝－mb    D． ma＋8＝mb＋8【解析】 当m≠0时，由ma＝mb得a＝b，当m＝0时，a＝b不一定成立．故选A.2．下列方程的变形中，正确的是(　C　)①3x＋6＝0变形为x＋2＝0；②x＋7＝5－3x变形为4x＝－2；③4x＝－2变形为x＝－2；④＝3变形为2x＝15.A． ①④    B． ②③C．①②④    D． ①②③【解析】 根据等式的性质可知，只有4x＝－2变形为x＝－2是错误的，其余都正确．故选C. 3．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　A　)A．<    B．<C．a2<b2    D．|a|>|b|【解析】 因为a<0，b>0，所以<0，>0，所以<.4．下列命题正确的是(　D　)A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>－b，则－a>bC．若ac>bc，则a>bD．若a>b，则a－c>b－c【解析】 当c＝0时，选项A错误；将a>－b两边同乘－1，得－a<b，选项B错误；当c<0时，选项C错误；只有选项D正确．故选D.5．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　C　)A．a>b    B．a<bC．a≥b    D．a≤b【解析】 a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.6．已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．解：令a＋b＝x，a－b＝y，则2≤x≤4，1≤y≤2.由解得所以4a－2b＝4·－2·＝x＋3y.而2≤x≤4，3≤3y≤6，则5≤x＋3y≤10，所以5≤4a－2b≤10.