突破1.4 充分条件与必要条件（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训（人教A版2019必修第一册）

突破1.4 充分条件与必要条件一、考情分析二、经验分享1、　充分条件与必要条件(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)几点说明①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的．②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题．2、　充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．3、 充分条件、必要条件与充要条件的概念【特别提醒】若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．三、题型分析重难点1 充分条件、必要条件的判断【规律方法总结】定义法判断充分条件、必要条件1确定谁是条件，谁是结论2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.例1．（1）（2021·全国高一单元测试）“”的一个充分条件是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据充分条件的定义判断即可【详解】解：“”的一个充分条件就是集合的一个子集即可，所以 B选项满足题意.故选：B（2）．（2021·全国高一课时练习）使不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）A．x<0 B．x≥0C．{3，5} D．x≤【答案】A【分析】先求出不等式的解集，要找不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件，只要找出不等式解集的一个真子集即可【详解】由－5x＋3≥0，得{x|x≤}，只有选项A中x的范围为其真子集.故选：A.【变式训练1-1】．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·弥勒市一中高一月考）设，，则是成立的（ ）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为，因此，是成立的必要不充分条件，故选：B.【变式训练1-2】．（2021·江苏高一课时练习）（多选题）命题是命题的（ ）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．充分不必要条件【答案】AD【分析】解出、中的方程，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由已知可得，或，因为，因此，是的充分不必要条件.故选：AD. 重难点2 充分条件、必要条件与充要条件的应用【规律方法总结】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围1化简p，q两命题；2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；3利用集合间的关系建立不等式；4求解参数范围.例2．（1）（2020·江苏扬州市·仪征市第二中学高一月考）已知，，且是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用集合法进行求解.【详解】由，，规定集合,要使是的充分条件，只需B.所以，解得：.故选：B（2）．（2021·江苏高一课时练习）命题，命题，则p是q成立的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别求得命题对应的x的解集，比较解集关系，判断充分、必要条件.【详解】由题知，命题或；命题或，故p是q的充分不必要条件故选：A（3）．（2020·江苏省盱眙中学高一期中）（多选题）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【分析】根据充分必要条件得出a 范围，可得选项.【详解】由得，因此，若是的充分不必要条件，则．故选：BCD．【点睛】本题考查根据充分必要条件求参数的范围，属于基础题.【变式训练2-1】．（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解.【详解】因为集合，集合，所以等价于即，对比选项，、均为的充分不必要条件.故选：BD.【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.【变式训练2-2】．（2021·全国高一单元测试）已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____【答案】【分析】根据充分条件、必要条件的概念以及解不等式的相关知识即可求解.【详解】命题，解得，显然解集非空，命题，解得因为是的充分不必要条件，所以所以，解得，即故答案为：【变式训练2-3】．（2020·江苏高一课时练习）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】解不等式，解得，解方程，解得或.①当时，即当时，不等式即为，该不等式的解集为，不合乎题意；②当时，即当时，解不等式可得.由于是的充分不必要条件，则，可得，此时；③当时，即当时，解不等式可得.由于是的充分不必要条件，则,可得，解得.检验：当时，则有，合乎题意；当时，则有，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含． 重难点3 充要条件的证明及其综合应用例3．（2020·全国高一课时练习）已知a、b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的__________________条件．【答案】充要【分析】先证明充分性成立，再证明必要性成立，即得解.【详解】∵a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0，∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的充分条件；∵ab>0，∴a与b同号，a＋b>0，∴a>0且b>0，∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的必要条件．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．故答案为：充要【点睛】本题主要考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.例4．（2021·河北石家庄二十三中高二期中）已和知集合，集合，命题，命题.（1）当实数为何值时，是的充要条件；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化简，根据是的充要条件可得，根据列式可得结果；（2）将是的充分不必要条件转化为是的真子集，然后按照与的大小关系分类讨论得到，根据真子集关系列式可得结果.【详解】（1），即，有，解得，故，因为是的充要条件，所以，故的解集也为，所以，即；（2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，当，即或时，，由是的真子集可得，解得；当，即或0时，，符合题意；当，即时，，由是的真子集可得，解得，综上所述：实数的取值范围是.、【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．例5．（2020·全国）已知非空集合，集合，命题．命题．（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）当实数为何值时，是的充要条件．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解出集合，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围；（2）由题意可知，进而可得出和是方程的两根，利用韦达定理可求得实数的值.【详解】（1）解不等式，即，解得，则.由于是的充分不必要条件，则，，①当时，即当或时，，不合题意；②当时，即当或时，，，则，解得，又当，，不合乎题意.所以；③当时，即当时，，则，此时.综上所述，实数的取值范围是；（2）由于是的充要条件，则，所以，和是方程的两根，由韦达定理得，解得.【点睛】本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数，考查运算求解能力，属于中等题.例6．（2020·全国高一课时练习）下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3），，；（4）是一元二次方程的一个根，.【答案】（2）（4）【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充要条件，得到答案.【详解】（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，也可能为菱形，所以，所以p不是q的充要条件.（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例，因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件.（3），，，因为时，，不一定成立，也可能，，所以，所以p不是q的充要条件.（4）是一元二次方程的一个根，，因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件.所以（2）（4）中，p是q的充要条件.【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题. 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p