高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案设计，共10页。

初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角，sin α＝eq \f(BC,AC)，cs α＝eq \f(AB,AC)，tan α＝eq \f(BC,AB)，三角函数值为两个边长的比值．
[问题] 如图所示，以单位圆的圆心O为原点，建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？



知识点一 任意角的三角函数的定义
eq \a\vs4\al()
三角函数的定义
(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；
(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)如图所示，sin α＝y.( )
(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知角α的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则sin α＝______，cs α＝________，tan α＝________．
答案：－eq \f(1,2) －eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(3),3)
知识点二 三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )
(2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( )
答案：(1)√ (2)×
2．若sin α<0且cs α<0，则角α为第________象限角．
答案：三
知识点三 诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式：
根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
提示：终边相同的角的同一三角函数值相等．
eq \a\vs4\al()
诱导公式一的结构特点
(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α；
(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；
(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin α，cs(α＋k·360°)＝cs α，tan(α＋k·360°)＝tan α.其中k∈Z.
[例1] (链接教科书第179页例2)(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin αcs β＝( )
A．－eq \f(36,65) B．－eq \f(3,13)
C.eq \f(4,13) D.eq \f(48,65)
(2)设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a)，那么sin α＋2cs α的值等于( )
A.eq \f(2,5) B．－eq \f(2,5)
C.eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5)
[解析] (1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，
故由定义知sin α＝eq \f(5,13)，cs β＝－eq \f(3,5)，
∴sin αcs β＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,13).
(2)∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.
即 eq \r(（－3a）2＋（4a）2)＝1，解得a＝±eq \f(1,5).
∵a<0，∴a＝－eq \f(1,5).
∴P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
∴sin α＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5).
∴sin α＋2cs α＝－eq \f(4,5)＋2×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5).
[答案] (1)B (2)A
eq \a\vs4\al()
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角α终边上一点P(x，y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)；
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上的点，则首先求r＝ eq \r(x2＋y2)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)；
(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；
(4)参数问题：若点的坐标，角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．
[跟踪训练]
1．已知角α的终边上一点P(m, eq \r(3))，且cs α＝eq \f(\r(10),4)，则m＝________．
解析：由题意得x＝m，y＝ eq \r(3)，∴r＝|OP|＝ eq \r(m2＋3)，
∴cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(10),4)，很明显m>0，
解得m＝ eq \r(5).
答案：eq \r(5)
2．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cs α的值．
解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x2＋y2＝1，,x≥0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，
所以sin α＝y＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝x＝eq \f(\r(5),5).
[例2] (链接教科书第180页例3、第181页例4)(1)已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)sin 285°·cs(－105°)________0(填“＜”或“＞”)．
[解析] (1)依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan α＜0，,cs α＜0.))
由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cs α＜0，符合题意；
当α是第四象限角时，cs α＞0，不符合题意．故选B.
(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cs(－105°)<0.所以sin 285°·cs(－105°)>0.
[答案] (1)B (2)>
eq \a\vs4\al()
正弦、余弦函数值的正负规律

[跟踪训练]
1．(多选)给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cs(－220°)；③tan(－10)；④cs π.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选ABCD 因为－100°角是第三象限角，所以sin(－100°)＜0；因为－220°角是第二象限角，所以cs(－220°)＜0；因为－10∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)π，－3π))，所以角－10是第二象限角，所以tan(－10)＜0；cs π＝－1＜0.故选A、B、C、D.
2．当α为第二象限角时，eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析：选C ∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cs α<0.
∴eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)＝eq \f(sin α,sin α)－eq \f(cs α,－cs α)＝2.
[例3] (链接教科书第181页例5)求下列各式的值．
(1)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))；
(2)sin 420°cs 750°＋sin(－690°)cs(－660°)．
[解] (1)因为cseq \f(25π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋8π))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))＝taneq \f(π,4)＝1，
所以cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
(2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，
cs 750°＝cs(2×360°＋30°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，
sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，
cs(－660°)＝cs(－2×360°＋60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，
所以sin 420°cs 750°＋sin(－690°)cs(－660°)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1.
eq \a\vs4\al()
利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤

[跟踪训练]
计算：
(1)sin(－1 380°)cs 1 110°＋cs(－1 020°)sin 750°；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,3)))＋taneq \f(17π,4).
解：(1)原式＝sin(－4×360°＋60°)×cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)×sin(2×360°＋30°)
＝sin 60°cs 30°＋cs 60°sin 30°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1.
(2)原式＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋（－4）×2π))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2×2π))
＝cseq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
三角函数在单位圆中的几何表示及应用
设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图①，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cs α，sin α)，其中cs α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，如图②，则tan α＝AT(或AT′)．
我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．
[问题探究]
1．设角α＝x rad，且0提示： 我们先给x一个具体的值来进行比较：取x＝eq \f(π,6)，则sin x＝eq \f(1,2)，tan x＝eq \f(\r(3),3).因为eq \f(1,2)＝eq \f(3,6)eq \f(π,6)，所以tan eq \f(π,6)>eq \f(π,6).从而可得sin eq \f(π,6)2．你在第1问中得到的大小关系是否对区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的任意x都成立？
提示：设角α的顶点与圆心O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图所示．过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位圆的切线AT，交α的终边于点T，连接AP，则MP＝sin x，AT＝tan x，S△OAP因为S△OAP＝eq \f(1,2)OA·MP＝eq \f(1,2)sin x，
S扇形AOP＝eq \f(1,2)x·12＝eq \f(1,2)x，
S△OAT＝eq \f(1,2)OA·AT＝eq \f(1,2)tan x，
所以eq \f(1,2)sin x即sin x因此当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sin x[迁移应用]
在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥eq \f(\r(3),2)；
(2)cs α≤－eq \f(1,2).
解：(1)如图①所示，作直线y＝eq \f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).
(2)如图②所示，作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).
1．若α＝eq \f(2π,3)，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝eq \f(2π,3)在第二象限，
∴x＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，y＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
2．sin 1 140°的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
解析：选B sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).
3．(多选)若角α的终边过点(－3，－2)，则下列结论正确的是( )
A．sin αtan α＜0 B．cs αtan α＞0
C．sin αcs α＞0 D．sin αcs α＜0
解析：选AC ∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sin α＜0，cs α＜0，tan α＞0，
∴sin αtan α＜0，cs αtan α＜0，sin αcs α＞0，故选A、C.
4．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是_______．
解析：由题意，得tan 420°＝－eq \f(a,4)，即tan 60°＝－eq \f(a,4)，解得a＝－4eq \r(3).
答案：－4eq \r(3)
5．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cs 360°＝________．
解析：原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cs(0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cs 0°＝4.
答案：4
新课程标准解读
核心素养
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号
数学抽象、数学运算
2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题
逻辑推理、数学运算
条件
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α
余弦
点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cs α，即x＝cs_α
正切
点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan_α(x≠0)
三角
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cs x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z
sin(α＋k·2π)＝sinα，
cs(α＋k·2π)＝csα，
tan(α＋k·2π)＝tanα，
其中k∈Z.
三角函数的定义及应用
三角函数值符号的判定
诱导公式一的应用