高中人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念导学案

这是一份高中人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念导学案，共11页。学案主要包含了三角函数的定义及应用，三角函数值符号的应用，公式一的简单应用等内容，欢迎下载使用。

§5.2　三角函数的概念
5．2.1　三角函数的概念
学习目标　1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.掌握任意角三角函数在各象限的符号.3.掌握三角函数诱导公式一并会应用．

知识点一　任意角的三角函数的定义
条件
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)

定义
正弦
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α
余弦
点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α
正切
点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)
三角函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cos x，x∈R
正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z

思考　三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？
答案　三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：

2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三　公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等．
即
(sin(α＋2kπ)＝sin α，
cos(α＋2kπ)＝cos α，
tan(α＋2kπ)＝tan α，
其中k∈Z.


1．sin α表示sin 与α的乘积．(　×　)
2．设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　×　)
3．终边相同的角的同一三角函数值相等．(　√　)
4．终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　×　)

一、三角函数的定义及应用
例1　(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P
(y<0)，则tan α＝ .
答案　－
解析　因为点P(y<0)在单位圆上，
则＋y2＝1，
所以y＝－，所以tan α＝－.
(2)(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝－，则x的值为(　　)
A．－ B．－1 C．1 D.
答案　BC
解析　|OP|＝，
∵sin α＝＝＝－，
解得x2＝1，∴x＝±1.

延伸探究
在本例(2)中，将“sin α＝－”改为“cos α＝－”求x的值．
解　|OP|＝，
∴cos α＝＝＝－，
解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.
(学生)
反思感悟　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，
cos α＝.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
跟踪训练1　角θ的终边落在直线y＝2x上，求sin θ，
cos θ的值．
解　方法一　设角θ的终边与单位圆交于点P(x，y)，
联立解得或
即点P坐标为或，
当点P坐标为时，sin θ＝，cos θ＝，
当点P坐标为时，sin θ＝－，
cos θ＝－.
方法二　①若θ的终边在第一象限内，
设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，
因为r＝|OP|＝＝a，
所以sin θ＝＝＝，cos θ＝＝＝.
②若θ的终边在第三象限内，
设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，
因为r＝|OP|＝＝－a(a<0)，
所以sin θ＝＝＝－，
cos θ＝＝＝－.
二、三角函数值符号的应用
例2　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
(2)(多选)下列选项中，符号为负的是(　　)
A．sin(－100°) B．cos(－220°)
C．tan 10 D．cos π
答案　ABD
解析　－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；10∈在第三象限，故tan 10>0，cos π＝－1<0.
反思感悟　判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
跟踪训练2　已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　∵点P(sin α，cos α)在第三象限，
∴∴α为第三象限角．
三、公式一的简单应用
例3　计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos tan 4π.
解　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
反思感悟　利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
跟踪训练3　计算下列各式的值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin ＋tan.
解　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)sin ＋tan
＝sin＋tan
＝sin ＋tan ＝＋1.

1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设交点坐标为P(x，y)，
则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，
∴点P.
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　设点P(－4,3)，则|OP|＝＝5，
∴cos α＝＝－.
3．(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　AC
解析　因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以θ在第一象限或第三象限．
4．计算：sin ＋cos＋tan ＝ .
答案　2
解析　原式＝sin＋cos＋
tan
＝sin ＋cos ＋tan 
＝＋＋1
＝2.
5．已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝ .
答案　1或－1
解析　因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.

1．知识清单：
(1)三角函数的定义及求法．
(2)三角函数在各象限内的符号．
(3)公式一．
2．方法归纳：转化与化归、分类讨论．
3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为.


1．点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　由三角函数定义知＝tan 60°＝.
2．代数式sin(－330°)cos 390°的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　由诱导公式－可得，
sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°
＝×＝.
3．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是(　　)
A．2 B．±2 C．－2 D．－2
答案　D
解析　因为cos α＝－<0，所以x<0，
又r＝，由题意得＝－，
所以x＝－2.
4．(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　)
A．cos(－280°)<0 B．sin 500°>0
C．tan>0 D．tan >0
答案　BCD
解析　cos(－280°)＝cos(－360°＋80°)＝cos 80°>0；
sin 500°＝sin(360°＋140°)＝sin 140°，90°<140°<180°，
∴sin 140°>0；
tan＝tan＝tan ，∈，
∴tan π>0；
tan π＝tan＝tan ，∈，
∴tan >0.
5．已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
解析　∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ是一正一负，
又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0，
综上有sin θ<0，cos θ>0，
即θ为第四象限角．
6．已知角α终边与单位圆交于点P，则cos α＝ ，sin α＝ .
答案　－　±
解析　点P满足单位圆x2＋y2＝1，
则＋y2＝1，∴y＝±，
∴cos α＝－，sin α＝±.
7．点P(tan 2 020°，cos 2 020°)位于第 象限．
答案　四
解析　因为2 020°＝5×360°＋220°，
所以2 020°的终边与220°的终边相同，
又220°是第三象限角，
所以tan 2 020°>0，cos 2 020°<0，
即点P位于第四象限．
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 ．
答案　(－2,3]
解析　由cos α≤0，sin α>0可知，
解得－2 9．化简下列各式：
(1)sin ＋cos ＋cos(－5π)＋tan ；
(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
解　(1)原式＝sin ＋cos ＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°
＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
10．已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
解　由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝，
又因为cos θ＝x，
所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.

11．函数y＝＋的定义域是(　　)
A．{x|2kπ B.
C.
D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
答案　B
解析　由sin x≥0，－cos x≥0，
得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
12．在△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
答案　C
解析　在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，
∵sin A>0，∴cos B·tan C<0，
∴B，C一个为锐角，另一个为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
13．函数y＝＋＋的值域是(　　)
A．{－1,0,1,3} B．{－1,0,3}
C．{－1,3} D．{－1,1}
答案　C
解析　依题意，角x的终边不在坐标轴上，
当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3，
当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1，
当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1，
当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，
综上有值域为{－1,3}．
14．若－300°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为 ．
答案　－4
解析　由三角函数定义知，tan(－300°)＝－，
又tan(－300°)＝tan(－360°＋60°)＝tan 60°＝，
∴－＝，∴a＝－4.

15．(多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是(　　)
A．sin 2α>0 B．cos 2α>0
C．cos >0 D．tan >0
答案　AD
解析　由α是第一象限角，2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，得4kπ<2α<π＋4kπ，k∈Z,2α的终边在x轴上方，则sin 2α>0.cos 2α的正负不确定；又因为kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则tan >0，cos 的正负不确定．
16．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解　(1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝
＝＝－.