数学人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积学案设计

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体．金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石．如图就是一块正八面体的钻石．

[问题]　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？

知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．

棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？

提示：都相等．

正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为________，表面积为________．

解析：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3×1×2＝6；又S底面面积＝×1×＝，所以它的表面积为6＋.

答案：6　6＋

知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积

棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh；

棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝Sh；

棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)棱锥的体积等于底面面积与高之积．(　　)

(2)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差．(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为(　　)

A．27 cm3　　　　　　 B．60 cm3

C．64 cm3  D．125 cm3

解析：选B　V长方体＝3×4×5＝60(cm3)．

3．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为(　　)

A．2  B．4

C．6  D．12

解析：选B　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4.

[例1]　如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1.当PO1＝2 m，PA1＝4 m时，求帐篷的表面积．

[解]　如图，连接O1A1，因为PO1＝2 m，PA1＝4 m，

所以A1B1＝A1O1＝＝2(m)，

取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1.

所以A1Q＝O1A1＝，PQ＝＝(m)，

设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，

所以S1＝6×A1B1·PQ＝6(m2)，

S2＝6A1B1·OO1＝48(m2)，

所以该帐篷的表面积为S1＋S2＝(6＋48)(m2)．

[母题探究]

(变设问)若把本例条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？

解：若为封闭容器，则表面积应在原来基础上加上底面面积．底面是边长为2的正六边形，它可以分成6个全等的正三角形，所以底面积为6××(2)2＝18.故容器的表面积为6＋48＋18＝(6＋66)(m2)．

求解此类问题时，首先要注意题目要求侧面积还是表面积，其次观察几何体形状，是已知的棱柱、棱锥、棱台，还是由这些几何体形成的组合体，再利用公式准确计算相关的面积，从而求解．　　　　

[跟踪训练]

已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．

解：如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，

在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，

故B1F＝ ＝2，

所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，

故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，

所以S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.

[例2]　(链接教科书第115页例2)(1)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________；

第(1)题图　　　　　　第(2)题图

(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD­A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S ­ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为________．

[解析]　(1)VA ­DED1＝VE­DD1A＝××1×1×1＝.

(2)V正方体＝23＝8，VS­ABCD＝×22×(5－2)＝4.

V＝V正方体＋VS ­ABCD＝12.

[答案]　(1)　(2)12

求几何体体积的常用方法

[跟踪训练]

1．一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________cm3，表面积为________cm2.

解析：如图，∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为3 cm，

∴S正方形ABCD＝18 cm2.

连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝AC＝×3×＝3(cm)，

又棱长PC＝5 cm，∴OP＝ ＝4(cm)，

∴VP­ABCD＝×18×4＝24(cm3)．

取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝＝＝(cm)．

S侧＝4××3×＝6(cm2)，S表＝(18＋6)(cm2)．

答案：24　18＋6

2.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，截下一个棱锥C­A1DD1，求棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．

解：设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，

所以VABCD­A1B1C1D1＝VADD1A1­BCC1B1＝Sh.

而棱锥C ­A1DD1的底面积为S，高为h，

故三棱锥C ­A1DD1的体积为

VC­A1DD1＝×S×h＝Sh，

余下部分体积为Sh－Sh＝Sh.所以棱锥C ­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.

1．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为(　　)

A. m3　　　　　　　 B. m3

C．1 m3  D. m3

解析：选B　设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的体积为V＝××6×＝(m3)．故选B.

2．过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　)

A．6  B．12

C．24  D．48

解析：选D　设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x，2x，3x，由体对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2，4，6.所以V长方体＝2×4×6＝48.

3．正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为(　　)

A．3a2  B．2a2

C.a2  D．4a2

解析：选C　S＝4××a×a＝a2.

4.一个正方体木块ABCD­A1B1C1D1的体积为512 cm3，如图，M为棱CB的中点，N为棱BB1的中点，过A，M，N三点的平面切下一个三棱锥B­AMN，则三棱锥B­AMN的表面积是________cm2.

解析：如图，连接MC1和NC1.易知△AMN≌△C1MN，△ABM≌△C1CM，△ABN≌△C1B1N，△MNB≌△MNB.

因此，三棱锥B­AMN的表面积等于正方形BB1C1C的面积，即()2＝64(cm2)．

答案：64