数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案

空间点、直线、平面之间的位置关系

在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间中，情况就不同了．例如，下图中，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行．

[问题]　你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？

知识点一　空间中直线与直线的位置关系

1．异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线；

(2)异面直线的画法．

2．空间两条直线的位置关系

　分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗？

提示：不一定．分别在两个平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线．

1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条(　　)

A．相交　　　　　　　　 B．异面

C．相交或异面  D．平行

答案：C

2．在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(　　)

A．SB  B．SC

C．BC  D．AB

答案：C

3．平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是________．

答案：相交或异面

知识点二　直线与平面、平面与平面的位置关系

1．直线与平面的位置关系

2．两个平面的位置关系

1．直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点，正确吗？

提示：不正确，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，也称为直线a在平面α外．

2.观察如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？

提示：直线A1B在平面ABB1A1内，与平面CDD1C1平行，与其余四个面相交．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(　　)

(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．(　　)

(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．直线l与平面α有两个公共点，则(　　)

A．l∈α  B．l∥α

C．l与α相交  D．l⊂α

答案：D

3．正方体的六个面中互相平行的平面有(　　)

A．1对  B．2对

C．3对  D．4对

解析：选C　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六个面中互相平行的平面有3对．

[例1]　(链接教科书第130页例2)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中：

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．

[解析]　(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC.

∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.

(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．

(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.

(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．

[答案]　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面

1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍

(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线；

(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．

2．判定两条直线是异面直线的方法

(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交；

(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．　　　　

[跟踪训练]

已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是(　　)

A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

解析：选D　若a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；若a与b异面，b与c异面，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故B错误；若a，b不同在平面α内，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；由异面直线的定义，知D正确.

[例2]　给出下列说法：

①若直线a在平面α外，则a∥α；

②若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α；

③若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线；

④若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α.

其中说法正确的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

[解析]　对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误．

对于②，∵直线a∥b，b⊂平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，故②说法错误．

对于③，比如在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥平面ABCD，A1D1∥AD，∴平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行，故③说法正确．

对于④，当a⊂α时，α内也存在无数条直线与直线a平行，故④说法错误．

[答案]　B

直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法；

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 　　　　

[跟踪训练]

如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．

解：B1C⊂平面BCC1B1，

B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．

BD1与6个面都相交.

[例3]　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)

A．平行  B．相交

C．平行或相交  D．不能确定

[解析]　如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.

由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．

[答案]　C

[母题探究]

1．(变条件)本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？

解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面．

由图知这两个平面可能平行，也可能相交．

2．(变条件)若将条件改为：平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α与β的关系是什么？

解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行，

由图知，平面α与平面β平行或相交．

1．平面与平面的位置关系的判断方法

(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

2．常见的平面和平面平行的模型

(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

(2)长方体的六个面中，三组相对面平行. 　　　　

[跟踪训练]

如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？

解：∵几何体ABC­A1B1C1为三棱柱，

∴平面ABC与平面A1B1C1平行．

∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，

∴平面ABC与平面ABB1A1相交．

同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．

1．直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　 B．平行

C．异面  D．以上都有可能

解析：选D　如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面．故选D.

2．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　　)

A．平行  B．相交

C．异面  D．平行、相交或异面

解析：选D　若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．

3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，与AA1异面的棱是(　　)

A．AB  B．BB1

C．DD1  D．B1C1

解析：选D　AA1∥BB1，AA1∥DD1，AA1∩AB＝A，AA1与B1C1是异面直线．

4.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在直线与平面B1BCC1的位置关系是________；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

解析：(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．

(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．

答案：(1)平行　(2)相交