人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算导学案

复数的乘、除运算

我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有(a＋b)c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中m，n均为正整数．

[问题]　复数的运算满足上述的运算律吗？

知识点一　复数的乘法

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

2．复数乘法的运算律

对于任意复数z1，z2，z3∈C，有

1．复数的乘法与多项式乘法有何不同？

提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．

2．多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？

提示：仍然成立，乘法公式也适用．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个复数的积一定是虚数．(　　)

(2)两个共轭复数的和与积是实数．(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)

A．5　　　　　　　　 B.

C．3  D.

解析：选A　z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.故选A.

3．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)

A．6－4i  B．－6－4i

C．6＋4i  D．－6＋4i

解析：选D　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.故选D.

知识点二　复数的除法

复数代数形式的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．

对复数除法的两点说明

(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；

(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．　　　　

i是虚数单位，则＝________．

解析：＝＝＝2－3i.

＝＝.

答案：

[例1]　(链接教科书第78页例3、例4)计算下列各题：

(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.

[解]　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i

＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i

＝(3＋11i)(3－4i)＋2i

＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i

＝53＋21i＋2i＝53＋23i.

复数的乘法运算法则的应用

(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；

(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．　　　　

[跟踪训练]

1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)

A．2－13i　　　　　　 B．13＋2i

C．13－13i  D．－13－2i

解析：选D　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D.

2．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选D　由题设知z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，在复平面内对应的点为(4，－2)，位于第四象限．故选D.

[例2]　(1)设z＝，则|z|＝(　　)

A．2  B.

C.  D．1

(2)(链接教科书第79页例5)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[解析]　(1)∵ z＝＝＝，所以|z|＝ ＝.

(2)由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．

[答案]　(1)C　(2)B

1．两个复数代数形式的除法运算的步骤

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.　　　　

[跟踪训练]

1．已知z(2＋i)＝1＋ai(a∈R，i为虚数单位)，若z为纯虚数，则a＝(　　)

A．－2  B．－

C.  D．2

解析：选A　∵z(2＋i)＝1＋ai(a∈R)，

∴z(2＋i)(2－i)＝(1＋ai)(2－i)，

∴z＝.

∵z为纯虚数，∴＝0且≠0，∴a＝－2.故选A.

2．计算：＝________．

解析：法一：＝＝

＝－2＋i.

法二：＝

＝＝＝

＝－2＋i.

答案：－2＋i

[例3]　计算下列各式的值：

(1)i2 020；

(2)(1＋i)12＋(1－i)12；

(3)1＋i＋i2＋…＋i2 020.

[解]　(1)i2 020＝i4×505＝i4＝1.

(2)(1＋i)12＋(1－i)12＝[(1＋i)2]6＋[(1－i)2]6

＝(2i)6＋(－2i)6＝(－4)3＋(－4)3＝－128.

(3)1＋i＋i2＋…＋i2 020＝(1＋i＋i2＋i3)＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋…＋(i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019)＋i2 020＝0×505＋i2 020＝1.

利用i幂值的周期性解题的技巧

(1)熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；

(2)对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.　　　　

[跟踪训练]

若A＝{x|x＝i2n＋i－2n，n∈N*}，则集合A的子集的个数为(　　)

A．3  B．4

C．8  D．16

解析：选B　当n＝1时，x＝i2＋i－2＝－1＋(－1)＝－2，当n＝2时，x＝i4＋i－4＝1＋1＝2，当n＝3时，x＝i6＋i－6＝－2，当n＝4时，x＝i8＋i－8＝2，因此A＝{2，－2}，故A有4个子集．

[例4]　(链接教科书第79页例6)在复数范围内解下列方程：

(1)x2＋5＝0；

(2)x2＋4x＋6＝0.

[解]　(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，

又因为(i)2＝(－i)2＝－5，

所以x＝±i，所以方程x2＋5＝0的根为±i.

(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，

因为(i)2＝(－i)2＝－2，

所以x＋2＝i或x＋2＝－i，

即x＝－2＋i或－2－i，

所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.

法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，

所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．

在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，

所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，

整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，

所以

又因为b≠0，所以

解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i，

即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.

在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法

(1)求根公式法

①当Δ≥0时，x＝；

②当Δ<0时，x＝.

(2)利用复数相等的定义求解

设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　　　　

[跟踪训练]

已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值．

解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.

由复数相等的条件得x＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，

解得或

∴方程的实根为x＝或－，相应的k的值为k＝－2或2.

欧拉公式及其应用

欧拉公式eix＝cos  x＋isin x(x∈R，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．

[问题探究]

1．复数e的虚部是多少？

提示：复数e＝cos＋isin＝－i，所以复数e－i的虚部为－.

2．求复数e＋e 的模．

提示：复数e＋e＝cos＋isin＋cos＋isin ＝＋i，

所以复数e＋e的模为＝.

[迁移应用]

复数z＝eiθ(θ∈R)，z的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为Z0，A(－1，0)与B(0，1)为定点，则函数f(z)＝|(z＋1)(－i)|取最大值时，在复平面上以Z0，A，B三点为顶点的图形是(　　)

A．等边三角形　　　　　 B．直角三角形

C．等腰直角三角形  D．等腰三角形

解析：选D　∵z＝eiθ＝cos  θ＋isin  θ，∴(z＋1)(－i)＝(cos  θ＋1＋isin  θ)(cos  θ－isin  θ－i)＝cos2θ－isin  θcos  θ－icos θ＋cos  θ－isin  θ－i＋isin  θcos  θ＋sin2θ＋sin θ＝(cos  θ＋sin θ＋1)－i(cos  θ＋sin θ＋1)，

∵f(z)＝|(z＋1)(－i)|，

∴f(z)＝

＝

＝ ，

当sin＝1时，f(z)取得最大值，

即当θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时，f(z)取最大值，

此时z＝＋i，＝－i，

又∵A(－1，0)，B(0，1)，

∴|Z0A|2＝＋＝2＋，

|Z0B|2＝＋＝2＋，

又|AB|2＝(－1－0)2＋(0－1)2＝2，

∴|Z0A|＝|Z0B|，且|Z0A|2＋|Z0B|2≠|AB|2，

∴该图形为等腰三角形．故选D.

1．若复数z满足(3－4i)z＝5(1－i)，其中i为虚数单位，则z的虚部为(　　)

A．1  B．－

C.  D．－1

解析：选C　根据已知得z＝＝＝＝＋i，则复数z的虚部为.故选C.

2．已知m∈R，i为虚数单位，若(m＋i)(2－3i)＝5－i，则m的值为(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．－2

解析：选A　由(m＋i)(2－3i)＝(2m＋3)＋(2－3m)i＝5－i，得解得m＝1.

3．已知i是虚数单位，复数z＝＋i2 019在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C　∵z＝＋i2 019＝＋(i4)504·i3＝－2－i，

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(－2，－1)，位于第三象限，故选C.

4．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|为(　　)

A.  B.

C.  D．1

解析：选B　因为复数z满足z(1－i)2＝1＋i，z＝＝＝－＋i，|z|＝.故选B.

5．计算：＋－＝________．

解析：原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－

＝8＋8－16－16i＝－16i.

答案：－16i