人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案

复数的加、减运算及其几何意义

我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律．

[问题]　那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？

知识点　复数的加法、减法

1．复数的加、减法运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．

2．复数加法的运算律

(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

3．复数加、减法的几何意义

如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是．

1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可．

2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)复数与复数相加减后结果不可能是实数．(　　)

(2)两个复数的加法不满足结合律．(　　)

(3)复数加、减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(　　)

A．8i　　　　　　　 B．6

C．6＋8i  D．6－8i

解析：选B　z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.

3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(　　)

A．0  B．6i

C．6  D．6－6i

解析：选D　∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.

4．在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)

A．－10＋8i  B．10－8i

C．0  D．10＋8i

解析：选C　＋＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，故＋对应的复数为0.

[例1]　(1)(链接教科书第76页例1)计算：(8－2i)－(－7＋5i)＋(3＋7i)；

(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.

[解]　(1)(8－2i)－(－7＋5i)＋(3＋7i)＝[8－(－7)＋3]＋(－2－5＋7)i＝15＋3.

(2)∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，

∴(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，∴∴

∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.

复数加、减运算的法则

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；

(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．　　　　

[跟踪训练]

1．计算＋(2－i)－＝________．

解析：＋(2－i)－

＝＋i＝1＋i.

答案：1＋i

2．若(1－3i)＋z＝6＋2i，则复数z＝________．

解析：z＝(6＋2i)－(1－3i)＝6＋2i－1＋3i＝5＋5i.

答案：5＋5i

[例2]　(链接教科书第77页练习2题)如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：

(1)所表示的复数，所表示的复数；

(2)对角线所表示的复数；

(3)对角线所表示的复数及的长度．

[解]　(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，

所以所表示的复数为－3－2i.

因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.

(2)因为＝－，

所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)因为对角线＝＋＝＋，

所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

故||＝＝.

运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题

向量加、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．　　　　

[跟踪训练]

已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求：

(1)对应的复数；

(2)对应的复数；

(3)△AOB的面积．

解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，

所以＝＋，于是＝－，

而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.

(2)因为＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5.

(3)因为＝＝－＝，＝＝，即＝，＝，

于是·＝－，

而||＝，||＝，

所以··cos∠AOB＝－，

因此cos∠AOB＝－，

故sin∠AOB＝，

故S△AOB＝||||sin∠AOB＝×××＝，即△AOB面积为.

[例3]　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)

A．1　　　　　　　　 B.

C．2  D.

(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．

(1)[解析]　设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，

因为|z＋i|＋|z－i|＝2，

|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.

所以|z＋i＋1|min＝1.

[答案]　A

(2)[解]　如图所示，

||＝ ＝2.

所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.

[母题探究]

1．(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．

解：因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.

2．(变条件，变设问)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．

解：因为|z|＝1且z∈C，作图如图所示，

所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.

两个复数差的模的几何意义

(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；

(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；

(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．　　　　

[跟踪训练]

设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，求|z＋1|的取值范围．

解：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.

∴|z＋1|的取值范围是[0，3]．

1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝(　　)

A．  B．－

C．－  D．5

解析：选B　(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.

2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2  B．4

C．3  D．－4

解析：选B　z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4.

3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)

A．2＋4i　　　　　　　 B．－2＋4i

C．－4＋2i  D．4－2i

解析：选D　在平行四边形ABCD中，＝＝－＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i.故选D.

4．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________．

解析：由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.

答案：9π

5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．

解析：∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，

∴解得a＝－1.

答案：－1