人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例练习题

27.2.3 相似三角形应用举例

一、单选题

1．小亮用自制的直角三角板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知直角三角板的两条直角边DE＝40cm，EF＝30cm，又测得AM＝10m，边DF离地面的高度DM＝1.5m，则树高AB为（　　）

A．7.5m B．9m C．6m D．5.25m

【答案】B

【解析】

 解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC＋BC＝1.5＋7.5＝9米，
∴树高为9米，

故选：B．

 2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 AB  BD ，CD  BD ，且测得 AB  4m ，BP  6m ， PD  12m ，那么该古城墙CD 的高度是（   ）

A．8m B．9m C．16m D．18m

【答案】A

【解析】

 解：根据题意得∠APB＝∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP＝∠CDP＝90°，

∴，

∴，即，

解得：．

答：该古城墙CD的高度为8m．

故选：A．

 3．如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔的高度，他们先在水平地面上一点放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端的距离，当镜子与与观测者小芳的距离时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端，已知小芳的眼睛距地面的高度，铁塔的高度为（    ）（根据光的反射原理，）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

 解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE，

∴，

∴，

∴AB=12米．

故选：B．

 4．我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门．出东门一十五步有木．问出南门几何步而见木？”大意是，今有正方形小城的边长为200步，如图，各边中点分别开一城门，走出东门15步处有树．问出南门多少步能见到树（即求从点到点的距离）？（注：步是古代的计量单位）（    ）

A．步 B．步

C． D．步

【答案】D

【解析】

 解：CE＝100，CF＝100，EQ＝15，

∵QE∥CF，

∴∠PCF＝∠Q，

而∠PFC＝∠QEC，

∴△PCF∽△CQE，

∴，

即，

∴PF＝（步）；

答：出南门F步能见到树Q，

故选：D．

 5．如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆，测得，，则建筑物的高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

 解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE=1.2 m，AB=1.6 m，BC=18.4 m，
∴AC=20，
∴，
∴CD=15m．
故选：B．

二、填空题

6．小明想测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的星期天，他在电线杆旁的点处立一标杆．使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点、、在一直线上）．量得米，米，米．则电线杆长________米．

【答案】5.4

【解析】

 解：∵CD∥AB，

∴△ECD∽△EAB，

∴，

∴，

∴AB＝5.4米．

故答案为：5.4．

 7．如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边P点处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和点B，使得B，A，P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C，点D，使AC⊥BP，BD⊥BP，由观测可以确定AC与DP的交点C．他们测得AB＝20m，AC＝40m，BD＝50m，从而确定河宽PA为_____m．

【答案】80

【解析】

 解：∵AC⊥BP，BD⊥BP，

∴AC∥BD，

∴△PBD∽△PAC，

∴，

∵AB＝20m，AC＝40m，BD＝50m，

即，

解得：PA＝80．

故答案为：80．

8．如图，一张矩形纸片，，，纸片折叠，使、两点重合，折线________．

【答案】

【解析】

解：如下图，连接AC交MN于点O，连接CM，

∵在矩形ABCD中，BC=AD=9cm，AB=12cm，

∴AC=，

∵将矩形沿MN折叠后，点C与点A重合，

∴AM=CM，AO=CO=，∠AOM=∠CON=90°，

设AM=x，则CM=x，BM=12-x，

∵在Rt△CBM中，∠B=90°，BC=9cm，

∴，解得：，即CM=AM=cm，

∴在Rt△CMO中，OM=cm，

∵在矩形ABCD中，CD∥AB，

∴∠MAO=∠NCO，∠CNO=∠AMO，

∴△AMO∽△CNO

∴.，

∴cm，

∴cm，

故答案为：.

9．在某时刻的阳光下，身高160cm的阿美其影长为80cm，她身旁的旗杆影长7m，则旗杆高为__m．

【答案】14

【解析】

据相同时刻的物高与影长成比例，设旗杆的高度为x（m）则：

160：80=x：7，

解得：x=14，

故答案为：14．

 10．如图，身高的小华站在距路灯5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为，则路灯的高度为________．

【答案】

【解析】

 ，

，

，即，

解得：．

即路灯的高度为4.8米．

三、解答题

11．甲、乙两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与其影长的比之间有什么关系？

【答案】

解：如图，表示行走的两个人，表示同一时刻的太阳光线，分别表示他们各自的影长，

则

所以同一时刻他们的身高与其影长的比相等.

【解析】

先画出符合题意的图形，再利用太阳光线是平行光线，证明再利用相似三角形的性质可得答案.

12．已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE．亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝1.2m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底边离地面的高度BC．

【答案】

解：作EF⊥DC交AD于F，

∵AD∥BE，∴

又∵，

∴△DEF∽△ECB，

∴，

∵AB∥EF， AD∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴EF=AB=1.8m，

∴(m) ．

答：窗口底边离地面的高度BC=1.44 m．

【解析】

根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△DEF∽△ECB，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．

13．如图，测得，，，求河宽AB．

【答案】

解：由题意得：

，，，

即河宽为100m.

【解析】

由题意得：证明再利用相似三角形的性质建立方程求解即可.

14．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE=3：4，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM=16m，边DF离地面的距离为1.5m，求树高AB．

【答案】

设，，

，，

，

，

，

，

，

答：树高AB长为13.5m．

【解析】

设，，证明，由相似的性质得出，算出，即可得出答案．本题考查利用相似三角形测高，掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．

15．如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）

【答案】

解：设AB为xm，BC为ym，

根据题意知，△ABC∽△EDC，有①．

△ABD∽△GFD，有②．

联立①②，得x＝32．

答：建筑物AB的高度为32m．

【解析】

易得△ABC∽△EDC以及△ABD∽△GFD，根据相似三角形的性质得到关于x和y的方程组，求解即可．