2021学年27.2.2 相似三角形的性质精练

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27.2.2 相似三角形的性质 一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长为4，G是BC边上一点，若矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，则FG长为（　　）A．2.8 B．3 C．3.2 D．4【答案】C【解析】 解：∵G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，∴∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，∴∠EDA＝∠CDG，∴△EDA∽△CDG，∴，即，解得，ED＝3.2，∴FG＝3.2，故选：C． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，D、G分别在AB，AC上，DG＝3，则点F到BC的距离为（ ）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】 解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD：AB＝AG：AC，∵∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG＝∠B，∴DG∥BC，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BM＝BC＝6，∴AM＝＝＝8，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∴，∴AN＝2，∴MN＝AM﹣AN＝6，∴FH＝MN﹣GF＝6﹣3＝3，故选：A． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是△ABC的角平分线，若P，Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是（  ）A． B． C． D．【答案】C【解析】 解：如图所示：将△ACD沿AD翻折得到△ADC′，连接DC′，过点C′作C′Q⊥AC．

∵AD是∠CAB的角平分线，
∴△ADC与△ADC′关于AD对称．
∴点C′在AB上．
由翻折的性质可知：AC′＝AC＝3，PC＝PC′．
∴QP＋PC＝QP＋PC′．
由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值．
在Rt△ACB中，AB＝．∵，∴， ∴，∴,∴，即，解得：，∴PC+PQ的最小值是：．故选：C． 4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若，则的值是（　　）
 A．3 B．2 C． D．【答案】C【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，AB=CD，AD=BC，∴∠ABG=∠G，∠AFB=∠CBG，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠CBG，∴∠G=∠CBG，∠ABF=∠AFB=∠DFG=∠G，∴BC=CG，AF=AB，DF=DG，∵，∴设DF=DG=x，则AF=AB=CD=2x，∴CG=CD+DG=3x，∵∠ABE=∠G，∠AEB=∠CEG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C． 5．如图，在矩形ABCD中，，，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若，则图中阴影部分的面积为（    ）A．6 B．7.5 C．10.5 D．12【答案】C【解析】 解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵EF=AD=3，
∴EF=BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM=EF：BC=1：2，
又∵MN=AB=3，
∴GN=1，GM=2，
∴S△BCG=×6×2=6，
∴S△EFG=×3×1=，S矩形ABCD=6×3=18，
∴S阴影=18-6-=10.5．
故选：C． 二、填空题6．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形HEFG的边长为 ___．【答案】4 cm【解析】 解：设正方形的边长为xcm，∴AP＝AD﹣PD＝6﹣x，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴，∴＝，解得：x＝4，故答案为：4cm 7．已知：在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，点E在边AC上，AD＝2，当AE＝___时，△ABC和△ADE相似．【答案】或【解析】 解：当时，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE===；当时，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE===；故答案为：或． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为 ___．【答案】1【解析】 解：延长DF交AC于G，设BD＝CE＝x，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵点C关于DE的对称点为F，∴EF＝CE＝x，∵DF∥AB，∴∠A＝∠EGF，∴△ABC∽△GEF，∴，∴，∴GE＝，∴CG＝GE+CE＝，∵DF∥AB，∴，∴，∴x＝1，∴BD＝1，故答案为：1． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点I为三角形的重心，HI⊥BC于点H，则HI＝______cm．【答案】2【解析】 ：解：BI与AC交于点D．
∵点I为三角形的重心．
∴AD＝DC，DI＝IB．
∵AC＝6cm．
∴DC＝3cm．
∵∠ACB＝90°，HI⊥BC于点H，
∴DC∥HI．
∴△BHI∽△BCD，
∴．即：．
∴HI＝2cm．
故答案为：2． 10．如图，已知△ABC的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么的值为____．【答案】【解析】 解：∵CE是△ABC的中线，∴AE＝EB，∵EF∥BC，∴＝＝1，∴＝，∵△ABC的两条中线AD和CE相交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴EG＝CG，DG＝AG，∵EF∥BC，∴＝＝，即DG＝2FG，∵AF＝FD，AF＝3FG，∴，故答案为：． 三、解答题11．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2，测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°．（1）AE＝　 　米，AB＝　 　米；（2）求矩形场地ABCD的面积． 【答案】解：（1），，，和是等腰直角三角形，，，米，米，米，（米，（米，（米，（米，（米；（2）过作于，过作交于，交于，，四边形和四边形是矩形，，，，，，，，设，，，，，，，，，，，经检验：符合题意；，（米， 矩形的面积为：（平方米）.【解析】（1）根据已知条件得到和是等腰直角三角形，求得米，米，于是得到米；（2）过作于，过作交于，交于，根据矩形的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论．12．已知：中，以为直径的交边于点（1）求证：点为边的中点；（2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连结AE，∵为直径，∴∠AEB=90°，∵AE⊥BC，∴BE=CE=，点为边的中点；（2）解：连结DE，∵∠CDE+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠CDE=∠ABE，又∵∠DCE=∠BCA，∴△CDE∽△CBA，∴，∵，点为边的中点；∴CE=，AC=AB=10，∴，∴，∴AD=AC-CD=10-4=6．【解析】（1）根据直径所对圆周角是90°可得AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一可得BE=CE=即可；（2）利用平角与四边形对角互补可证得∠CDE=∠ABE，进而可证△CDE∽△CBA，可得，可求即可．13．如图1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC为边作正方形BCDE，点P从点A出发，沿ABE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜6.5），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）如图2，连接PQ，交BC于点F，是否存在某一时刻t，使△BFP与△QFC相似？（3）用含t的代数式表示出五边形PEDCQ的面积． 【答案】解：（1）由题意得，，∵在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，∴，∴，∵，∴，∴即，解得；（2）∵∠BFP=∠QFC，∴要使得△BFP与△QFC相似，那么必有另一组对应角相等，∵∠ABC=∠PBF=90°，∠QCF≠90°，∴∠FQC=∠FBP=90°，∴∠FCQ=∠FPB，∠AQP=∠ABC=90°∴△APQ∽△ACB，∴即，解得；（3）过点Q作QM⊥AB于M，∴∠AMQ=∠ABC=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMQ∽△ABC，∴即，∴，∴，∵，∴．【解析】（1）由题意得，，由勾股定理求出AC=13cm，则，再证明，得到即，由此求解即可；（2）先根据相似三角形的判定条件得到∠FQC=∠FBP=90°，从而证明△APQ∽△ACB，即，由此求解即可；（3）过点Q作QM⊥AB于M，则可证△AMQ∽△ABC，得到即，则，再由进行求解即可．14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且点D的坐标为，．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PD，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，作轴于点E，点F在线段OC上，，线段BF和CE交于点G，当，求点P的坐标，并求此时的面积． 【答案】解：（1）∵抛物线，∴当x=0时，y=8，∴点C的坐标为(0，8)，OC=8，∵，∴，解得：BO=6，∴点B的坐标为(6，0)，∴将B(6，0)和D代入得：，解得：∴抛物线的解析式为；（2）如图所示，构造矩形DEFG，设点P(t，)，∵四边形DEFG是矩形，D，C(0，8)，∴E，F，G，∴，，，，，，即；（3）如图所示，过点E作EN⊥BF于点N，过点F作FQ⊥CE于点Q，∵EN⊥BF，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴和都是等腰直角三角形，由(2)知，，∴，∴，在中，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴++＝，解得：t=4，∴，∴P(4，6)，∴．【解析】（1）首先根据抛物线得出点C的坐标为(0，8)，然后根据可求出点B的坐标为(6，0)，将点B和点D的坐标代入抛物线可求出a和b的值，即可求出抛物线的解析式；（2）如图所示，构造矩形DEFG，根据题意表示出点P的坐标为(t，)，然后分别表示出点E，F，G的坐标，即可表示出，，和的面积，进而表示出S与t之间的函数关系式；（3）过点E作EN⊥BF于点N，过点F作FQ⊥CE于点Q，根据题意证明出，，然后根据等腰直角三角形的性质，勾股定理和相似三角形的性质表示出CQ，QG，GE的长度，最后在△OCE中根据勾股定理列出方程求解即可．