2020-2021学年27.2.2 相似三角形的性质测试题

这是一份2020-2021学年27.2.2 相似三角形的性质测试题，共12页。

27.2　相似三角形
27.2.2　相似三角形的性质
一、选择题
1.若△ABC∽△DEF,相似比为4∶3,则△ABC与△DEF对应的中线之比为( )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
3.若△ABC与△DEF相似且周长比为4∶3,则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.8∶3 B.16∶81 C.9∶16 D.16∶9
4.如图,在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为( )
A.105° B.115° C.125° D.135°

第4题图 第5题图 第8题图
5.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC＝3∶2,∠A＝α,∠C＝β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2.下列等式一定成立的是( )
A.OBCD＝32 B.αβ＝32 C.S1S2＝32 D.C1C2＝32
6.顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形面积的比是( )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶2
7.顺次连接△ABC三边的中点得△A1B1C1,再次顺次连接△A1B1C1三边的中点得△A2B2C2,则△A2B2C2的面积与△ABC的面积的比是( )
A.1∶4 B.1∶6 C.1∶8 D.1∶16
8.【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是(　　)
A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2
9.【2020·海南】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为(　　)
A．16 B．17 C．24 D．25

第9题图 第10题图 第12题图
10.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC,垂足为H,AH交DG于点P.已知BC＝6,AH＝4.当矩形DEFG的面积最大时,HP的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.【马鞍山期末】在等腰△ABC纸板中,AB＝AC＝5,BC＝2,P为AB上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,恰有3种不同的剪法,那么BP的长可以为( )
A.3.6 B.2.6 C.1.6 D.0.6
12.【2021浙江温州一模】《几何原本》里有一个图形:在△ABC中,D,E是边AB上的两点(AD A.9 B.18 C.27 D.54
二、填空题
13.(1)相似三角形对应高的比等于________．(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________．
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________．(4)相似三角形的面积之比等于_________
(5)相似三角形的周长之比等于________．
14.如图,△ABC∽△A'B'C',AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高.若AB∶A'B'＝2∶3,则AH∶A'H'＝　 　. 
15.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5∶4,那么这两个三角形的周长之比为　 　. 

第14题图 第16题图 第17题图
16.【2021·南通】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则C1C2的值等于　　　　. 
17.如图,在▱ABCD中,点E为CD上一点,且DE=12CE,连接BE并延长,交AD的延长线于点F,连接AE,则S△FED∶S△ABE=　　　　. 
18.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积,……,则第n个正△AnBnCn的面积是 　. 

三、解答题
19.如图,在△ABC中,EF∥BC,且EF＝23BC＝2 cm,△AEF的周长为10 cm,试求梯形BCFE的周长.




20.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.




21.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在线段DE上,且△ADF∽△DEC,若DC＝4,AD＝33,AF＝23.
(1)求DE的长;
(2)求▱ABCD的面积.






22.如图,在△ABC中,D为BC上一点,已知AD平分∠BAC,AD＝DC.
(1)求证:△ABC∽△DBA;
(2)已知S△ABD＝6,S△ADC＝10,求DCAC.








23.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.如图1,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图2,此时,这个矩形零件的两条边长分别为多少?
(3)如果要加工的零件只是一个矩形,如图3,此时,这个矩形零件的两条边长不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求面积达到最大值时矩形零件的两条边长.








24.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论.
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N.若正方形ABCD的边长为10,P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.


参考答案
一、选择题
1.若△ABC∽△DEF,相似比为4∶3,则△ABC与△DEF对应的中线之比为( A )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为( B )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
3.若△ABC与△DEF相似且周长比为4∶3,则△ABC与△DEF的面积比为( D )
A.8∶3 B.16∶81 C.9∶16 D.16∶9
4.如图,在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为( D )
A.105° B.115° C.125° D.135°

第4题图 第5题图 第8题图
5.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC＝3∶2,∠A＝α,∠C＝β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2.下列等式一定成立的是( D )
A.OBCD＝32 B.αβ＝32 C.S1S2＝32 D.C1C2＝32
6.顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形面积的比是( A )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶2
7.顺次连接△ABC三边的中点得△A1B1C1,再次顺次连接△A1B1C1三边的中点得△A2B2C2,则△A2B2C2的面积与△ABC的面积的比是( D )
A.1∶4 B.1∶6 C.1∶8 D.1∶16
8.【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是(　A　)
A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2
9.【2020·海南】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为(　A　)
A．16 B．17 C．24 D．25
【点拨】在Rt△ABG中，AG＝＝＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝15，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝10，∴CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，∴△ABE∽△FCE.∴△ABE的周长∶△CEF的周长＝BE∶CE＝2∶1.∴△CEF的周长为16.

第9题图 第10题图 第12题图
10.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC,垂足为H,AH交DG于点P.已知BC＝6,AH＝4.当矩形DEFG的面积最大时,HP的长是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.【马鞍山期末】在等腰△ABC纸板中,AB＝AC＝5,BC＝2,P为AB上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,恰有3种不同的剪法,那么BP的长可以为( D )
A.3.6 B.2.6 C.1.6 D.0.6
12.【2021浙江温州一模】《几何原本》里有一个图形:在△ABC中,D,E是边AB上的两点(AD A.9 B.18 C.27 D.54
【解析】　见平行线想对应线段成比例,得三角形相似,从而构造相似三角形,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.如图,连接FG,由AD=BE,DG∥AC,FE∥BC,得EHHF=DEDA=DEEB=DHHG,结合∠DHE=∠GHF,得△DHE∽△GHF,进而得S△DHES△GHF=(DHHG)2.由S2=18,S3=6,得DHHG=3.根据DG∥AC,FE∥BC,得四边形HFCG是平行四边形,进而得S△GHF=12S3=3,因此,S△HDE=27,即S4=27.

二、填空题
13.(1)相似三角形对应高的比等于________．
(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________．
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________．
(4)相似三角形的面积之比等于______________．
(5)相似三角形的周长之比等于________．
【答案】相似比 相似比 相似比 相似比的平方 相似比
14.如图,△ABC∽△A'B'C',AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高.若AB∶A'B'＝2∶3,则AH∶A'H'＝　2∶3　. 
15.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5∶4,那么这两个三角形的周长之比为　5∶4　. 

第14题图 第16题图 第17题图
16.【2021·南通】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则C1C2的值等于　　　　. 
【答案】22
【解析】因为DEAB=212+12=2,EFBC=22+222=2,DFAC=42+2232+12=2,所以DEAB=EFBC=DFAC=2,所以△DEF∽△ABC,所以C1C2=ABDE=22.
17.如图,在▱ABCD中,点E为CD上一点,且DE=12CE,连接BE并延长,交AD的延长线于点F,连接AE,则S△FED∶S△ABE=　　　　. 
【答案】1∶6　
【解析】设S▱ABCD=a,则S△ABE=12a,S△ADE+S△BCE=12a.∵DE=12CE,∴S△ADE∶S△BCE=1∶2,∴S△BCE=23×12a=13a.∵AD∥BC,∴△DFE∽△CBE,∴S△FDES△BCE=(DECE)2=14,∴S△FDE=14×13a=112a,∴S△FED∶S△ABE=112a∶12a=1∶6.
18.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积,……,则第n个正△AnBnCn的面积是 34n　. 

三、解答题
19.如图,在△ABC中,EF∥BC,且EF＝23BC＝2 cm,△AEF的周长为10 cm,试求梯形BCFE的周长.

解:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
又∵EF＝23BC,∴EFBC＝23,即相似比为23,
∴△AEF的周长△ABC的周长＝EFBC＝23,即10△ABC的周长＝23,
∴△ABC的周长＝15 cm,
∴梯形BCFE的周长＝△ABC的周长－△AEF的周长+2EF＝15－10+4＝9(cm).
20.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.

解(1)∵DC=AC,CF平分∠ACB,
∴CF是△ACD的中线,∴点F是AD的中点,
又点E是AB的中点,∴EF∥BD,即 EF∥BC.
(2)由(1)知EF∥BD, ∴△AEF∽△ABD,∴ S△AEFS△ABD=(AEAB)2.
∵AE=12AB, S△AEF=S△ABD-S四边形BDFE=S△ABD-6,
∴S△ABD-6S△ABD=(12)2 ,∴S△ABD=8,即△ABD的面积为8.
21.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在线段DE上,且△ADF∽△DEC,若DC＝4,AD＝33,AF＝23.
(1)求DE的长;
(2)求▱ABCD的面积.

解:(1)∵△ADF∽△DEC,∴ADDE＝AFDC,
∴33DE＝234,∴DE＝6.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∠EAD＝∠AEB＝90°,
∴在Rt△EAD中,AE2＝DE2－AD2＝62－(33)2＝9,
∴AE＝3,∴S▱ABCD＝BC·AE＝33×3＝93.
22.如图,在△ABC中,D为BC上一点,已知AD平分∠BAC,AD＝DC.
(1)求证:△ABC∽△DBA;
(2)已知S△ABD＝6,S△ADC＝10,求DCAC.

解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD＝DC,∴∠C＝∠CAD,∴∠C＝∠BAD.
∵∠B＝∠B,∴△ABC∽△DBA.
(2)由(1)可知△ABC∽△DBA,∴S△DBAS△ABC＝ADAC2.
∵S△ABD＝6,S△ADC＝10,∴S△DBAS△ABC＝616,
∴ADAC2＝616,∴ADAC＝64.
∵AD＝DC,∴DCAC＝64.
23.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.如图1,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图2,此时,这个矩形零件的两条边长分别为多少?
(3)如果要加工的零件只是一个矩形,如图3,此时,这个矩形零件的两条边长不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求面积达到最大值时矩形零件的两条边长.

解(1)设正方形零件的边长为x mm,则PN=PQ=ED=x mm,
∴AE=AD-ED=(80-x)mm.
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴PNBC=AEAD,即x120=80-x80,解得x=48.
∴加工成的正方形零件的边长是48 mm.
(2)设PQ=y mm,则PN=2y mm,AE=(80-y)mm,
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴PNBC=AEAD,即2y120=80-y80,解得y=2407,∴2y=4807.
∴这个矩形零件的两条边长分别为2407 mm,4807 mm.
(3)设PN=z mm,矩形PQMN的面积为S mm2
由题意可得△APN∽△ABC,
∴PNBC=AEAD,即z120=80-PQ80,解得PQ=80-23z.
则S=PN·PQ=z(80-23z)=-23z2+80z=-23(z-60)2+2 400,
故S的最大值为2 400,此时PN=60 mm,PQ=80-23×60=40(mm).　
∴此时矩形零件的两条边长分别为60 mm,40 mm.
24.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论.
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N.若正方形ABCD的边长为10,P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.

解:(1)CF＝2DG.
证明:易证∠CDF＝∠DEG.
又∵∠EDG＝∠DCF＝90°,
∴△DEG∽△CDF,
∴CFDG＝DCDE＝2,即CF＝2DG.
(2)作点C关于MN的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.
周长的最小值＝CD+PD+PC＝CD+PD+PK＝CD+DK.
由题意知CD＝AD＝10,DE＝AE＝5,DG＝52,EG＝552,DH＝DE·DGEG＝5,
∴EH＝25,∴HM＝DH·EHDE＝2.
在Rt△DMH中,DM＝CN＝NK＝DH2－HM2＝1,
∴CK＝2CN＝2.
在Rt△DCK中,DK＝CD2+CK2＝102+22＝226,
∴△PDC周长的最小值为10+226.

答案图