人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步达标检测题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


空间向量：平面法向量与线面角
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1. 设两不同直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面α的法向量是n，
则下列推理①e1//e2e1//n⇒b//α；②e1//ne1//n⇒a//b；③e1//nb⊄αe1⊥e2⇒b//α； ④e1//e2e1//n⇒b⊥α；
其中正确的命题序号是(  )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
2. 已知向量AB=(0，2，1)，AC=(-1，1，-2)，则平面ABC的一个法向量可以是(  )
A. (3，-1，-2) B. (-4，2，2) C. (5，1，-2) D. (5，-2，1)
3. 在空间直角坐标系中，平面α内有M(m，-2，1)和N(0，m，3)两点，平面α的一个法向量为n=(3，1，2)，则m等于(  )
A. -2 B. 2 C. 3 D. -3
4. 若A(0，2，198)，B(1，-1，58)，C(-2，1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a=(x，y，z)，则x：y：z=(  )
A. 2：3：(-4) B. 1：1：1 C. -12：1：1 D. 3：2：4
5. 已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5).若|a|=3，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为(  )
A. (1，1，1) B. (-1，-1，-1)
C. (1，1，1)或(-1，-1，-1) D. (1，-1，1)或(-1，1，-1)
二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
6. 已知AB=(1，0，2)，AC=(2，1，1)，则平面ABC的一个法向量为______ ．
7. 给出下列命题：
①直线l的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m的方向向量b=(2，1，-12)，则l与m垂直；
②直线l的方向向量a=(0，1，-1)，平面α的法向量n=(1，-1，-1)，则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为n1=(0，1，3)，n2=(1，0，2)，则α//β；
④平面α经过三点A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)，向量n=(1，u，t)是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是______.(把你认为正确命题的序号都填上)
三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）
8. 如图，直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90∘，棱AA1=2，如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系
(1)求平面A1B1C的法向量；
(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值．













9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD//平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD．













10. 如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN//平面EFBD．













11. 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，∠ABC=60∘，AC⊥FB．
(Ⅰ)求证：AC⊥平面FBC；
(Ⅱ)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．












12. 在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求EF的长
(2)证明：EF//平面AA1D1D；
(3)证明：EF⊥平面A1CD．








13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．








14. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
(Ⅰ)求证：AB⊥DE；
(Ⅱ)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
(Ⅲ)线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．








15. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45∘，F是PB的中点，E是BC上的动点．

(Ⅰ)证明：PE⊥AF；
(Ⅱ)若BC=2BE=23AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小..







16. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)在AB上是否存在点D，使得AC1//平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．







17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE//BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．








18. 如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=22，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60∘，如图2
(1)求证：BO⊥DO；
(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值．










空间向量：平面法向量与线面角
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
19. 设两不同直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面α的法向量是n，
则下列推理①e1//e2e1//n⇒b//α；②e1//ne1//n⇒a//b；③e1//nb⊄αe1⊥e2⇒b//α； ④e1//e2e1//n⇒b⊥α；
其中正确的命题序号是(  )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】B
【解析】解：若e1//e2⇒a//be1//n⇒a⊥α，则b⊥α，故①错误；
若e1//ne2//n则，e1//e2⇒a//b，故②正确；
若e1//nb⊄αe1⊥e2，则b//α，故③正确；
若e1//e2e1//n，则e2//n，又由b⊂α，故b⊥α，故④正确；
故选B．
根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，两条直线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间直线与直，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到答案．
本题考查的知识点是向量方法证明线、面位置关系，其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系，是解答此类问题的关键．

20. 已知向量AB=(0，2，1)，AC=(-1，1，-2)，则平面ABC的一个法向量可以是(  )
A. (3，-1，-2) B. (-4，2，2) C. (5，1，-2) D. (5，-2，1)
【答案】C
【解析】解：设平面ABC的一个法向量n=(x，y，z)，
∵向量AB=(0，2，1)，AC=(-1，1，-2)，
∴AB⋅n=2y+z=0AC⋅n=-x+y-2z=0，取y=1，得n=(5，1，-2)．
故选：C．
设平面ABC的一个法向量n=(x，y，z)，由向量AB=(0，2，1)，AC=(-1，1，-2)，列出方程组，能求出结果．
本题考查平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审，注意法向量的性质的合理运用．

21. 在空间直角坐标系中，平面α内有M(m，-2，1)和N(0，m，3)两点，平面α的一个法向量为n=(3，1，2)，则m等于(  )
A. -2 B. 2 C. 3 D. -3
【答案】C
【解析】解：∵平面α内有M(m，-2，1)和N(0，m，3)两点，
平面α的一个法向量为n=(3，1，2)，
∴MN=(-m，m+2，2)，
由题意得n⊥MN，则n⋅MN=-3m+m+2+4=0，
解得m=3．
故选：C．
先求出MN=(-m，m+2，2)，由题意得n⊥MN，从而利用n⋅MN=0，能求出m的值．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．

22. 若A(0，2，198)，B(1，-1，58)，C(-2，1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a=(x，y，z)，则x：y：z=(  )
A. 2：3：(-4) B. 1：1：1 C. -12：1：1 D. 3：2：4
【答案】A
【解析】解：AB=(1，-3，-74)，BC=(-3，2，0)，
∵平面α的法向量为a=(x，y，z)，
∴a⋅AB=x-3y-74z=0a⋅BC=-3x+2y=0，取y=3，则x=2，z=-4．
∴x：y：z=2：3：(-4)．
故选A．
利用平面法向量的性质即可得出．
熟练掌握平面的法向量的性质是解题的关键．

23. 已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5).若|a|=3，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为(  )
A. (1，1，1) B. (-1，-1，-1)
C. (1，1，1)或(-1，-1，-1) D. (1，-1，1)或(-1，1，-1)
【答案】C
【解析】解：(1)∵空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)
∴AB=(-2，-1，3)，AC=(1，-3，2)，
设a=(x，y，z)，由已知中向量a分别与向量AB，AC，垂直，且|a|=3，
∴-2x-y+3z=0x-3y+2z=0x2+y2+z2=3，解得x=y=z=±1．
a=(1，1，1)或a=(-1，-1，-1)
故选C
分别求出向量AB，AC，利用向量a分别与向量AB，AC，垂直，且|a|=3，设出向量a的坐标，
本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．

二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
24. 已知AB=(1，0，2)，AC=(2，1，1)，则平面ABC的一个法向量为______ ．
【答案】(-2，3，1)
【解析】解：AB=(1，0，2)，AC=(2，1，1)，
设平面ABC的法向量为n=(x，y，z)，
则n⋅AB=0n⋅AC=0，即x+2z=02x+y+z=0，取x=-2，则z=1，y=3．
∴n=(-2，3，1)．
故答案为：(-2，3，1)．
设平面ABC的法向量为n=(x，y，z)，则n⋅AB=0n⋅AC=0，解出即可．
本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．

25. 给出下列命题：
①直线l的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m的方向向量b=(2，1，-12)，则l与m垂直；
②直线l的方向向量a=(0，1，-1)，平面α的法向量n=(1，-1，-1)，则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为n1=(0，1，3)，n2=(1，0，2)，则α//β；
④平面α经过三点A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)，向量n=(1，u，t)是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是______.(把你认为正确命题的序号都填上)
【答案】①④
【解析】解：对于①，∵a=(1，-1，2)，b=(2，1，-12)，
∴a⋅b=1×2-1×1+2×(-12)=0，
∴a⊥b，
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，a=(0，1，-1)，n=(1，-1，-1)，
∴a⋅n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0，
∴a⊥n，∴l//α或l⊂α，②错误；
对于③，∵n1=(0，1，3)，n2=(1，0，2)，
∴n1与n2不共线，
∴α//β不成立，③错误；
对于④，∵点A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)，
∴AB=(-1，1，1)，BC=(-1，1，0)，
向量n=(1，u，t)是平面α的法向量，
∴n⋅AB=0n⋅BC=0，
即-1+u+t=0-1+u=0；
则u+t=1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．
故答案为：①④．
①根据直线l、m的方向向量a与b垂直，得出l⊥m；
②根据直线l的方向向量a与平面α的法向量n垂直，不能判断l⊥α；
③根据平面α、β的法向量n1与n2不共线，不能得出α//β；
④求出向量AB与BC的坐标表示，再利用平面α的法向量n，列出方程组求出u+t的值．
本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．

三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）
26. 如图，直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90∘，棱AA1=2，如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系
(1)求平面A1B1C的法向量；
(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值．





【答案】解：(1)由题意可知C(0，0，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)
故CA1=(1，0，2)，CB1=(0，1，2)…(3分)
设v=(x0，y0，z0)为平面A1B1C的法向量，则v⋅CA1=(x0，y0，z0)(1，0，2)=x0+2z0=0，…(5分)v⋅CB1=(x0，y0，z0)(0，1，2)=y0+2z0=0…(7分)
x0=-2z0y0=-2z0，令z0=1，则v=(-2，-2，1)…(9分)
(2)设直线AC与平面A1B1C夹角为θ，CA=(1，0，0)…(10分)
sinθ=|-2|1×4+4+1=23…(14分)
【解析】(1)求出平面中的两个共点向量，利用数量积为0，求出平面A1B1C的法向量；
(2)求出CA=(1，0，0)，利用向量的夹角公式求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值．
本小题主要考查求平面的法向量，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.属中档题.正确运用向量法是关键．

27. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD//平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD．





【答案】证明：(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，
设平面A1BD的法向量为m=(x，y，z)，
∵DA1=(2，0，2)，DB=(2，2，0)，
∴2x+2z=02x+2y=0，
∴取m=(-1，1，1)，
同理平面B1CD1的法向量为n=(-1，1，1)，
∴m//n，
∴平面A1BD//平面B1CD1；
(2)∵M、N分别为AB、B1C的中点，
∴MN=(-1，1，1)，
∴MN//m，
∴MN⊥面A1BD．
【解析】(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，求出平面A1BD、平面B1CD1的法向量，证明法向量平行，即可证明结论；
(2)求出MN=(-1，1，1)，可得MN//m，即可证明结论．
本题考查平面与平面平行的证明，考查直线与平面垂直，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．

28. 如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN//平面EFBD．





【答案】(本小题满分13分)
证法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，
N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)．
取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)．
MN=(2，2，0)，EF=(2，2，0)，AK=(-1，1，4)，OG=(-1，1，4)，
∴MN//EF，AK=OG，
∴MN//EF，AK//OG，
∴MN//平面EFBD，AK//平面EFBD，
∴平面AMN//平面EFBD．
证法二：设平面AMN的法向量是a=(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b=(b1，b2，b3).
由a⋅AM=0，a⋅AN=0，
得-2a1+4a3=02a2+4a3=0取a3=1，得a=(2，-2，1)．
由b⋅DE=0，b⋅BF=0，
得2b2+4b3=0-2b1+4b3=0取b3=1，得b=(2，-2，1)．
∵a//b，
∴平面AMN//平面EFBD．
【解析】证法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN//平面EFBD，AK//平面EFBD，进而得到平面AMN//平面EFBD．
证法二：求出平面AMN的法向量和平面EFBD的法向量，根据两个法向量平行，可得平面AMN//平面EFBD．
本题考查的知识点是平面与平面平行的判断，利用向量证明面面平行，难度中档．

29. 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，∠ABC=60∘，AC⊥FB．
(Ⅰ)求证：AC⊥平面FBC；
(Ⅱ)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．




【答案】(Ⅰ)证明：∵AB=2BC，∠ABC=60∘，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB⋅BCcos60∘=3BC2，
∴AC2+BC2=4BC2=AB2，∴∠ACB=90∘．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，FB∩BC=B，
∴AC⊥平面FBC．
(Ⅱ)
线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．
证明如下：
因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．
所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
设BC=1，所以C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，D(32，-12，0)，E(32，-12，1)．
所以CE=(32，-12，1)，CA=(3，0，0)，CB=(0，1，0)．
设平面EAC的法向量为n=(x，y，z)，则n⋅CE=0n⋅CA=0，
所以32x-12y+z=03x=0取z=1，得n=(0，2，1)．
假设线段ED上存在点Q，设Q(32，-12，t)(0≤t≤1)，所以CQ=(32，-12，t)．
设平面QBC的法向量为m=(a，b，c)，则m⋅CB=0m⋅CQ=0
所以b=032a-12b+tc=0取c=1，得m=(-2t3，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需m⋅n=0，
即 -23t×0+0×2+1×1=0，此方程无解．
所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．
【解析】(I)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用已知AC⊥FB和线面垂直的判定定理即可证明；
(II)通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直即可．
本题综合考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、通过距离空间直角坐标系利用两个平面的法向量解决面面垂直等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．

30. 在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求EF的长
(2)证明：EF//平面AA1D1D；
(3)证明：EF⊥平面A1CD．

【答案】解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，D(0，0，0)，
∵E，F分别为AB，A1C的中点，∴E(2，1，0)，F(1，1，1)，EF=(-1，0，1)，
∴|EF|=1+0+1=2．
(2)∵AD1=(-2，0，2)=2EF，∴EF//AD1，
又AD1⊂平面AA1D1D，EF⊄平面AA1D1D，
∴EF//平面AA1D1D.
(3)CD=(0，-2，0)，A1D=(-2，0，-2)，
∵CD⋅EF=0，EF⋅A1D=0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D，又CD∩A1D=D，
∴EF⊥平面A1CD．
【解析】(1)建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF的坐标表示，代入长度公式求解；
(2)求出AD1的坐标表示，关键坐标关系判断EF//AD1，再利用线面平行的判定定理证明；
(3)利用CD⋅EF=0，EF⋅A1D=0，可证直线EF垂直于CD、A1D，再利用线面垂直的判定定理证明．
本题考查用空间向量坐标运算求线段长，证明线面平行，证明线面垂直.用向量方法求解立体几何问题，简洁明了，关键是建立适当的空间直角坐标系，求相关点与向量的坐标．

31. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．

【答案】解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．
设AD=a，则D(0，0，0)，
A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
E(a，a2，0)，P(0，0，a)，F(a2，a2，a2).
(1)证明：∵EF⋅DC=(-a2，0，a2)⋅(0，a，0)=0，
∴EF⊥DC，∴EF⊥CD．
(2)设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，
由(x，y，z)⋅(a2a2a2)=0  (x，y，z)⋅(a a2，0)=0，得即a2(x+y+z)=0ax+a2y=0，
取x=1，则y=-2，z=1，
∴n=(1，-2，1)，
∴cos═-a2a⋅6=-36．
设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ=36．
【解析】以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F，坐标
(1)通过EF⋅DC=0，证明EF⊥CD．
(2)设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，由(x，y，z)⋅(a2a2a2)=0   (x，y，z)⋅(a a2，0)=0，推出n=(1，-2，1)，
利用cos═-a2a⋅6=-36.设DB与平面DEF所成角为θ，求出sinθ=36．
本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，证明直线与直线的垂直，直线与平面所成的角，考查计算能力．

32. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
(Ⅰ)求证：AB⊥DE；
(Ⅱ)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
(Ⅲ)线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．

【答案】(Ⅰ)证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EB=EA，所以EO⊥AB.                            …(1分)
因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.   …(2分)
因为EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD.      …(3分)
因为ED⊂平面EOD
所以AB⊥ED.        …(4分)
(Ⅱ)解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. …(5分)
因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O(0，0，0)，A(-1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)．
所以EC=(1，1，-1)，平面ABE的一个法向量为OD=(0，1，0). …(7分)
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以 sinθ= |cos〈EC，OD>| =|EC⋅OD||EC||OD|=33，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33.               …(9分)
(Ⅲ)解：存在点F，且EFEA=13时，有EC//平面FBD.             …(10分)
证明如下：由 EF=13EA=(-13，0，-13)，F(-13，0，23)，所以FB=(43，0，-23)．
设平面FBD的法向量为v=(a，b，c)，则有v⋅BD=0v⋅FB=0
所以-a+b=043a-23c=0取a=1，得v=(1，1，2).              …(12分)
因为EC⋅v=(1，1，-1)⋅(1，1，2)=0，且EC⊄平面FBD，所以EC//平面FBD．
即点F满足EFEA=13时，有EC//平面FBD.               …(14分)
【解析】(Ⅰ)取AB中点O，连接EO，DO.利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；
(Ⅱ)由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD.建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为OD=(0，1，0)，EC=(1，1，-1)，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；
(Ⅲ)存在点F，且EFEA=13时，有EC//平面FBD.确定平面FBD的法向量，证明EC⋅v=0即可．
本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．

33. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45∘，F是PB的中点，E是BC上的动点．

(Ⅰ)证明：PE⊥AF；
(Ⅱ)若BC=2BE=23AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小..
【答案】解：(Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系.设AP=AB=2，BE=a
则A(0，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，E(a，2，0)
于是，PE=(a，2，-2)，AF=(0，1，1)，
则PE⋅AF=0，
所以AF⊥PE.…(6分)
(Ⅱ)若BC=2BE=23AB，则D(43，0，0)，PD=(43，0，-2)，
PE=(23，2，-2)，
设平面PDE的法向量为n=(x，y，z)，
由(n⋅PE=0n⋅PD=0，得：43x-2z=023x+2y-2z=0，令x=1，则z=23，y=3，
于是n=(1，3，23)，而AP=(0，0，2)
设直线AP与平面PDE所成角为θ，
则sinθ=|n⋅AP||n|⋅|AP|=32．
∴直线AP与平面PDE所成角为60∘．
【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE，AF的坐标，得到其数量积为0即可证明结论．
(Ⅱ)先根据条件求出D的坐标以及PD，PE的坐标，进而求出平面PDE的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案．
本题主要考察用空间向量求直线与平面的夹角以及用向量语言表述线线的垂直.在利用向量语言表述线线的垂直关系时，只要得到数量积为0即可．

34. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)在AB上是否存在点D，使得AC1//平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．

∵AC=(-3，0，0)，BC1=(0，-4，4)，∴AC⋅BC1=0，即AC⊥BC1，
∴AC⊥BC1．
(2)解：假设在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，则AD=λAB=(-3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3-3λ，4λ，0)，B1D=(3-3λ，4λ-4，-4)，
又B1C=(0，-4，-4)，AC1=(-3，0，4)，AC1//平面CDB1，所以存在实数m，n，使AC1=mB1D+nB1C成立，
∴m(3-3λ)=-3，m(4λ-4)-4n=0，-4m-4n=4，
所以λ=12，所以在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，且D为AB的中点．
【解析】(1)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积为0，证明向量垂直；
(2)假设在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，则利用AC1//平面CDB1，存在实数m，n，使AC1=mB1D+nB1C成立，即可求得结论．

35. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE//BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

【答案】(1)证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，
∴DE⊥平面A1CD，
又∵A1C⊄平面A1CD，∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD，CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
(2)解：如图建系，则C(0，0，0)，D(-2，0，0)，A1(0，0，23)，B(0，3，0)，E(-2，2，0)
∴A1B=(0，3，-23)，A1E=(-2，2，-23)
设平面A1BE法向量为n=(x，y，z)
则A1B⋅n=0A1E⋅n=0∴3y-23z=0-2x+2y-23z=0∴z=32yx=-y2
∴n=(-1，2，3)
又∵M(-1，0，3)，∴CM=(-1，0，3)
∴cosθ=CM⋅n|CM|⋅|n|=1+31+4+3⋅1+3=42⋅22=22
∴CM与平面A1BE所成角的大小45∘
(3)解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为(0，a，0)，则a∈[0，3]
∴A1P=(0，a，-23)，DP=(2，a，0)
设平面A1DP法向量为n1=(x1，y1，z1)
则ay1-23z1=02x1+ay1=0∴z1=36ay1x1=-12ay1
∴n1=(-3a，6，3a)
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1⋅n=0，
∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直
【解析】(1)证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；
(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量n=(-1，2，3)，CM=(-1，0，3)，利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)设线段BC上存在点P，设P点坐标为(0，a，0)，则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为n1=(-3a，6，3a)
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1⋅n=0，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．

36. 如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=22，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60∘，如图2
(1)求证：BO⊥DO；
(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值．

【答案】方法一：(1)证明：由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，BC⊥MN，
∵折叠垂直关系不变，∴∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60∘，…(2分)
由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=2，
在矩形ABCD中，AB=2，AD=22，所以，BD=6，由题可知BO=OD=3，
由勾股定理可知△BOD是直角三角形，所以BO⊥DO     …(5分)
(2)解：如图1(2)设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD
又BO=OD，所以OE⊥BD，OE⊥面ABCD，OE⊂面BOD，平面BOD⊥平面ABCD
过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，…(8分)
所以OH是AO在平面BOD的投影，
所以∠AOH为所求的角，即AO与平面BOD所成角.…(11分)
AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=233，BO=OD=3，
所以sin∠AOH=23(14分)
方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图2建系，则Q(0，0，0)，B(62，0，0)，D(0，22，2)，O(0，-22，1)，
所以BO=(-62，-22，1)，DO=(0，-2，-1)
所以BO⋅DO=0，即BO⊥DO(5分)
(2)设平面BOD的法向量是n=(x，y，z)，
可得-62x-22y+z=0-2y-z=0，令y=2可得x=-6，z=-2
所以An=(-6，2，-2)
又AO=(-62，-22，-1)，
设AO与平面BOD所成角为θ
则sinθ=|cos|=23(14分)
【解析】方法一：(1)先判断∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，进一步证明△BOD是直角三角形，即可知BO⊥DO；
(2)设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD，过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则可证∠AOH为AO与平面BOD所成角；
方法二：(1)建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明BO⋅DO=0，即可；
(2)求出平面BOD的法向量是n=(x，y，z)，AO=(-62，-22，-1)，再利用向量夹角公式即可求得结论．
本题以平面图形的翻折为载体，考查线线垂直，考查线面角，既用传统方法，又用向量方法，两法并举，细细体会．