高中数学4.1 实数指数幂和幂函数学案设计

这是一份高中数学4.1 实数指数幂和幂函数学案设计，共10页。


4．1.3　幂函数

新课程标准解读
核心素养
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式
数学抽象、直观想象、逻辑推理



我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝.
[问题]　(1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　幂函数的概念
1．定义：当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数．
2．幂函数分类
(1)整数次幂函数
①当α为1，2，3…正整数时，此幂函数是正整数次幂函数，一般写成y＝xn(x∈R，n∈Z＋)；
②当α为－1，－2，－3，…负整数时，此幂函数是负整数次幂函数．
一般写成y＝x－n(n∈Z＋且x≠0)，正整数次幂函数和负整数次幂函数统称为整数次幂函数．
(2)当α为，，－，…分数时，此幂函数是分数次幂函数．
如y＝＝x，y＝x等．
3．幂运算的基本不等式的推广：对任意的正数r和两正数a>b，有＝>1，即ar>br.
对任意的负数r和两正数a>b，有＝<1，即ar
对幂函数的再理解
(1)xα的系数为1；
(2)xα的底数是自变量x，指数α为常数；
(3)项数只有一项．　　　　

1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
解析：函数y＝＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：1
2．已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，则m＝________．
解析：∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，
∴m＋1＝1，即m＝0.
答案：0
知识点二　幂函数的图象与性质
1．一般地，对于实数次幂函数y＝xα(α≠0)：
(1)当α>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点；
(2)当α<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近．
2．(1)五个常见幂函数的图象

(2)五个常见幂函数的性质

幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R
且y≠0}
奇偶性
奇
偶

非奇
非偶
奇
单调性

x∈(0，
＋∞)增；
x∈(－∞，
0)减

增
x∈(0，
＋∞)减；
x∈(－∞，
0)减
公共点
都经过点(1，1)

1．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则α＝(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．2
C．－ D．
答案：A
2．当x∈(0，1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
答案：>


幂函数的概念
[例1]　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
[解析]　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
[答案]　(1)B　(2)5或－1

判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.　　　　
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝4x2
C．y＝2x＋1 D．y＝x
解析：选AD　幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是4，不是幂函数；易知C不是幂函数．
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　)
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
解析：选C　因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.


幂函数图象及其应用
[例2]　(链接教科书第103页习题8题)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x) [解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．

由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．　　　　
[跟踪训练]
1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(3)＝(　　)
A. B．
C．3 D．9
解析：选B　设幂函数y＝f(x)＝xα，其图象经过点(2，)，则2α＝，解得α＝.∴f(x)＝x＝，∴f(3)＝.故选B.
2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)

A．①y＝x2，②y＝x，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析：选B　注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应．


幂函数的性质
[例3]　(链接教科书第101页例9)探讨幂函数f(x)＝x的单调性．
[解]　f(x)＝x的定义域为(0，＋∞)．∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1 因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，且 ·(＋)>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2) 所以幂函数f(x)＝x－是减函数．
[母题探究]
(变条件)本例若增加条件“(a＋1) <(3－2a) ”，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)＝x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a＋1) <(3－2a) 等价于
解得 所以实数a的取值范围是.

幂函数的常用性质
(1)幂函数y＝xα奇偶性的判断方法：
①若p，q同为奇数，则y＝xα为奇函数；
②若p为奇数，q为偶数，则y＝xα为偶函数；
③若p为偶数，则y＝xα为非奇非偶函数．
(2)幂函数单调性的判断：幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．　　　　
[跟踪训练]
1．(多选)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：选BD　当α＝－1时，y＝x－1＝，为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件；
当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件；
当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件；
当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件．故选B、D.
2．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.
所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)

比较幂值的大小
[例4]　(链接教科书第101页例8)比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与；
(3)与.
[解]　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴>.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，
∴>.
(3)∵函数y1＝x为(0，＋∞)上的增函数，又＞1，
∴＞1＝1.
又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＜1，
∴＜1＝1，∴＞.

比较幂值大小的2种方法
　　　　
[跟踪训练]
比较下列各组值的大小：
(1)(－0.31)，0.35；(2)1.2，1.4，1.42.
解：(1)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31)＝0.31.
又函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.31＜0.35，
∴0.31＜0.35，即(－0.31)＜0.35.
(2)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，
∴1.2<1.4.
易知1.4<1.42，∴1.2<1.4<1.42.

函数y＝x＋的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图．

[问题探究]
参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
提示：(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}；
(2)函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋为奇函数；
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图象可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减．
[迁移应用]
参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的图象与性质．
解：函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)具有如下基本性质：
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(0，＋∞)上有最小值2；f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(－∞，0)上有最大值－2；(3)在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近、向右与直线y＝ax无限接近；在第三象限内，函数图象向下与y轴无限接近，向左与直线y＝ax无限接近．该函数的图象如图所示．


1．下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝x4＋x2　　　　　　 B．y＝10x
C．y＝ D．y＝x＋1
解析：选C　根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A　所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
3．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.
答案：(－∞，0)
4．比较下列各组数的大小：
(1)，；(2)，.
解：(1)由幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，得<.
(2)由幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，得>.